Fatti di base sui tori complessi

[killing_buddha]

Un reticolo discreto è il sottogruppo additivo di \(\mathbb C\) generato da due suoi elementi linearmente indipendenti su \(\mathbb R\). Se tali elementi sono \(\alpha,\beta\), lo denotiamo \(\Lambda = \alpha\mathbb Z + \beta\mathbb Z\) o con \(\langle \alpha,\beta\rangle_{\mathbb Z}\).

Il toro \(\mathbb T_\Lambda\) generato da \(\Lambda\) è il quoziente \(\mathbb C/\Lambda\), e se consideriamo la mappa di proiezione al quoziente \(p : \mathbb C \to \mathbb T_\Lambda\), essa diventa un omomorfismo (con l'ovvia operazione di gruppo abeliano sul quoziente) e una funzione continua (rispetto alla topologia quoziente sul toro).

1. Mostrare che \(\Lambda\) come sottoinsieme di \(\mathbb C\) è sempre discreto; dedurne che il quoziente \(\mathbb T_\Lambda\) è, in quanto superficie reale, diffeomorfa al toro reale \(S^1\times S^1\).

2. Mostrare che ogni toro complesso ammette un atlante olomorfo fatto da tre carte; ne ha uno con due?

3. Mostrare che ogni toro complesso \(\mathbb T_{\langle\alpha,\beta\rangle}\) è olomorfo[1] a un toro della forma \(\mathbb T_{\langle 1,\tau\rangle}\) dove \(\tau\in \mathbb H = \{z\in\mathbb C\mid \Im z > 0\}\); tale numero complesso \(\tau\) si chiama modulo del toro.

[1] Due varietà complesse \(X,Y\) sono olomorfe, o isomorfe in senso complesso se esiste una mappa \(f : X \to Y\) tra loro che sia olomorfa, invertibile e la cui inversa sia una mappa olomorfa. Ciò significa che per ogni punto di \(X\) esistono carte \((U_x, \phi)\) di \(X\) in \(x\) e \((V_{fx},\psi)\) di \(fx\) in \(Y\) tali che la composizione \(\psi \circ f \circ \phi^{-1}\) sia olomorfa; stessa cosa succede a \(f^{-1}\).