Fatti di base sulla funzione \(\wp\)

[killing_buddha]

Sia \(\Lambda\) un reticolo che dà luogo al toro complesso \(\mathbb T_\Lambda\); definiamo una funzione
\[
\wp(z) = \frac{1}{z^2} + \sum_{\omega\in \Lambda\setminus\{0\}}\left( \frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right)
\] avente dominio i punti di \(\mathbb C \setminus \Lambda\).

Mostrare che \(\wp\) è meromorfa su \(\mathbb C\), e i suoi poli di ordine 2 sono tutti i punti di \(\Lambda\) (ossia è olomorfa su \(\complement\lambda\)), e il residuo in tali poli è nullo.

Mostrare che la derivata di \(\wp\) è anche lei meromorfa, e
\[
\wp'(z) = -2 \sum_{\omega\in\Lambda}\frac{1}{(z-\omega)^3}
\] per ogni \(z\in\mathbb C \setminus \Lambda\).

Mostrare che \(\wp\) è una funzione pari, e \(\wp'\) una funzione dispari.

Mostrare che \(wp\) è periodica sul reticolo \(\Lambda\), è suriettiva, e vale \(\wp(z)=\wp(w) \) se e solo se \(w \pm z\) appartiene al reticolo \(\Lambda\)

In quali punti si annulla la derivata? Qual è l'immagine di tali punti nel toro?

Mostrare che la funzione \(\wp\) soddisfa l'equazione differenziale
\[
\left(Y'(z)\right)^2 = 4 Y(z)^3 - g_2 Y(z) - g_3
\] dove \(g_2 = 60 \sum_{\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^4}\) e \(g_3 = 140 \sum_{\omega\neq 0} \frac{1}{\omega^6}\) (ovviamente, l'implicita domanda è che queste somme convergano: a che valori?)