base sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane

Messaggioda diedro » 30/07/2018, 11:05

Ciao a tutti,
scusate se vi disturbo ancora ma avrei una domanda su basi sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane. Forse affrontando la tematica da un altro punto di vista mi aiuterà a capire meglio il tutto.

Sto facendo riferimento al "Sernesi" preposizione 4.18.

La preposizione afferma:
Sia \(\displaystyle \textbf{V} \) uno spazio vettoriale di dimensione \(\displaystyle n \), \(\displaystyle \textbf{b}={ \textbf{b}_1,...., \textbf{b}_n} \) una sua base, e \(\displaystyle \textbf{W} \) un sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \textbf{V} \). Allora \(\displaystyle \textbf{W} \) possiede equazioni cartesiane rispetto a \(\displaystyle \textbf{b} \).

Dimostrazione:

Sia \(\displaystyle \textbf{f}_1 =\sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \textbf{b}_j,...,\textbf{f}_m=\sum_{j=1}^n \beta_{1,m} \textbf{b}_j \) una base di \(\displaystyle \textbf{V} \)


Qui mi è chiaro, uso la base di V per costruirmi la base di W

Consideriamo il sistema omogeneo:

\(\displaystyle B \textbf{X} = \textbf{0} \)

dove \(\displaystyle \textbf{B}=(\beta_{ij}) \) e \(\displaystyle \textbf{X} = ^t(X_1,...,X_n) \)

Sia \(\displaystyle {(a_{1,1},...,,a_{1,n}),...,(a_{n-m,1},...,,a_{n-m,n}) } \) una base dello spazio delle soluzione.

Qui praticamente tra tutte le m-n soluzioni ne scelgo una; base perchè sono L.I.

Allora le coordinate dei vettori \(\displaystyle \textbf{f}_1,...,\textbf{f}_1 \) sono soluzioni del sistema omogeneo:

\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1,j} X_j =0 \)

\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{n-m,j} X_j =0 \)

Qui mi sono perso, forse perché non riesco a visualizzarmi la cosa .

Grazie per qualsiasi aiuto.
diedro
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Re: base sottospazio vettoriale e equazioni cartesiane

Messaggioda Settevoltesette » 30/07/2018, 21:38

diedro ha scritto:Sia \(\displaystyle \textbf{f}_1 =\sum_{j=1}^n \beta_{1,j} \textbf{b}_j,...,\textbf{f}_m=\sum_{j=1}^n \beta_{1,m} \textbf{b}_j \) una base di \(\displaystyle \textbf{V} \)


Credo che qui gli \(\displaystyle F_i \) sono una base di \(\displaystyle W \) (devi dimostrare una roba su W)


diedro ha scritto:Consideriamo il sistema omogeneo:

\(\displaystyle B \textbf{X} = \textbf{0} \)

dove \(\displaystyle \textbf{B}=(\beta_{ij}) \) e \(\displaystyle \textbf{X} = ^t(X_1,...,X_n) \)

Sia \(\displaystyle {(a_{1,1},...,,a_{1,n}),...,(a_{n-m,1},...,,a_{n-m,n}) } \) una base dello spazio delle soluzione.

Qui praticamente tra tutte le m-n soluzioni ne scelgo una; base perchè sono L.I.


Non ho capito che intendi, comunque qui scegli tutte le m n-uple l.i. perché consideri una base

diedro ha scritto:Allora le coordinate dei vettori \(\displaystyle \textbf{f}_1,...,\textbf{f}_1 \) sono soluzioni del sistema omogeneo:

\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{1,j} X_j =0 \)

\(\displaystyle \sum_{j=1}^n a_{n-m,j} X_j =0 \)

Qui mi sono perso, forse perché non riesco a visualizzarmi la cosa .



Qui devi solo sostituire i \(\displaystyle b_(i,j) \) al posto degli \(\displaystyle X_j \), ma hai detto poco prima che il sistema con i termini \(\displaystyle b_(i,j) \) si risolve con le n-uple \(\displaystyle a_(i,j) \), se fai il contrario non cambia nulla.
Settevoltesette
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