Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda marco2132k » 31/07/2018, 12:12

Salve! Forse con due minuti di ricerche sull'internet avrei trovato la risposta a quello che sto per chiedere, ma credo appunto che sia un dubbio piuttosto stupido e che non valga la pena perderci del tempo.
Veniamo al dunque: nella costruzione della topologia del prodotto di due spazi topologici $E$ e $F$ è naturale prendere come intorni le immagini inverse delle proiezioni canoniche $p_{E}:E\times F \to E:(x,y) \mapsto x$ e $p_{F}:E\times F \to F:(x,y) \mapsto y$. La famiglia di intorni di un $z_0=(x_0,y_0) \in E\times F$ sarà quindi la famiglia: $$\biggl\{U\times V: U \in \mbox{ intorni di }x_0, V \in \mbox{ intorni di }y_0\biggr\}$$
Mi chiedo coma mai non vengano considerati semplicemente gli insiemi $p_{E}^{-1}(U)$, con $U$ intorno di $x_0$ e $p_{E}^{-1}(V)$, con $V$ intorno di $y_0$ come intorni.

Mi verrebbe da dire che, in effetti, quell'insieme non forma una topologia: dati $U = A_1\times F$, $V = E\times A_2$, la "mia" topologia non è chiusa rispetto all'intersezione (se ad esempio $E$ ed $F$ sono dotati della topologia discreta, e $A_1 = {x_0}$, $A_2 = {y_0}$, certo $A_{1}\times A_{2}$ non sarà un intorno).
Ha senso?
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 16 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda killing_buddha » 31/07/2018, 12:33

In generale, dato un prodotto \(X = \prod_\alpha X_\alpha\) di spazi topologici, ci sono due possibilità per equipaggiarlo di una topologia: la topologia delle scatole, e la topologia prodotto.

La topologia delle scatole \(\mathfrak X_\square = (X, \tau_\square)\) ha come base l'insieme dei \(\prod_\alpha U_\alpha\) al variare di \(U_\alpha\) aperto di \(X_\alpha\). Divèrtiti a dimostrare che questa è una base.

Alternativamente, la topologia prodotto è la topologia meno fine tale da rendere tutte le proiezioni \(p_\alpha : X \to X_\alpha\) continue. Più esplicitamente, lo spazio \(\mathfrak X_\Pi = (X, \tau_\Pi)\) ha per sottobase di aperti tutti gli insiemi \(p_\alpha^\leftarrow(U_\alpha)\), al variare di \(U_\alpha\) aperto di \(X_\alpha\).

Finché l'insieme di spazi \(\{X_\alpha\mid \alpha \in A\}\) è finito, queste due topologie coincidono; quando \(A\) è infinito, la topologia delle scatole è più fine.
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
Avatar utente
killing_buddha
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2711 di 5766
Iscritto il: 03/05/2008, 17:33

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda marco2132k » 31/07/2018, 13:55

Grazie per la risposta!
killing_buddha ha scritto:lo spazio \( \mathfrak X_\Pi = (X, \tau_\Pi) \) ha per sottobase di aperti tutti gli insiemi \( p_\alpha^\leftarrow(U_\alpha) \), al variare di \( U_\alpha \) aperto di \( X_\alpha \).

Quello che mi chiedo è, appunto, perché? Quello che vogliamo, cioè che le $p_\alpha$ siano continue, possiamo ottenerlo semplicemente ponendo $\tau_Pi = {p_\alpha^{-1}(U_alpha): U_alpha \ \mbox{aperto di}\ X_\alpha}$?

Poi in realtà dovremmo in questo caso fare i conti col fatto che non sarà necessariamente \(\cap_{i=1}^{n} p_i^{-1}(U_i) \in \tau_\Pi\)...
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 17 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda killing_buddha » 31/07/2018, 14:00

Il motivo è semplice, ${p_\alpha^{-1}(U_alpha): U_alpha \ \mbox{aperto di}\ X_\alpha}$ non è una topologia. Infatti quei sottoinsiemi sono esattamente tutti e soli quelli della forma \(U_\alpha\times\prod_{\beta\in A\smallsetminus\{\alpha\}} X_\beta\), e in quanto tali non sono chiusi per intersezione finita o per unione arbitraria; formano, però, una sottobase di \(X = \prod X_\alpha\).

Ti consiglio di fare dei disegni quando $A = \{1,2\}$, e di vedere a cosa corrisponde questa sottobase; tuttavia, come dicevo sopra, quando $A$ è finito questa sottobase è anche una base, e in effetti genera esattamente la topologia delle scatole.

Per vedere la differenza tra le due devi, ad esempio, considerare la topologia delle scatole e la prodotto su $RR^\omega$: nella topologia più fine, meno successioni sono convergenti.
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
Avatar utente
killing_buddha
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2713 di 5766
Iscritto il: 03/05/2008, 17:33

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda marco2132k » 31/07/2018, 16:20

killing_buddha ha scritto:$ {p_\alpha^{-1}(U_alpha): U_alpha \ \mbox{aperto di}\ X_\alpha} $ non è una topologia. Infatti quei sottoinsiemi sono esattamente tutti e soli quelli della forma \( U_\alpha\times\prod_{\beta\in A\smallsetminus\{\alpha\}} X_\beta \), e in quanto tali non sono chiusi per intersezione finita o per unione arbitraria;

Questo è esattamente quello che cercavo di capire: ${p_\alpha^{-1}(U_alpha): U_alpha \ \mbox{aperto di}\ X_\alpha}$ (o ${p_\alpha^{-1}(U_alpha): U_alpha \ \mbox{intorno di}\ X_\alpha}$) non è chiuso per intersezione finita o unione arbitraria (o, rispettivamente, per unione). E per dimostrarlo, nell'OP avevo fatto l'esempio degli spazi con topologia discreta. Mi stavo chiedendo infatti se quei due controesempi fossero coretti.

killing_buddha ha scritto:formano, però, una sottobase di \( X = \prod X_\alpha \).
Ciò che qui invece non capisco è perché definire la topologia prodotto come quella meno fine tra quelle che rendono continue le $p_\alpha$, equivalga a dire che i $p_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ formino una prebase.

(Grazie per la pazienza, sto studiando da un testo di analisi, dove tutta la teoria viene sviluppata a partire dagli assiomi di Hausdorff sugli intorni)
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 18 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda killing_buddha » 31/07/2018, 17:17

marco2132k ha scritto:Ciò che qui invece non capisco è perché definire la topologia prodotto come quella meno fine tra quelle che rendono continue le \(p_\alpha\), equivalga a dire che i \(p_\alpha^{-1}(U_\alpha)\) formino una prebase.

E' una costruzione generale, che dòta il dominio \(\prod X_\alpha\) della seguente proprietà universale: comunque data una famiglia di funzioni continue \(\{f_\alpha : X_\alpha \to Y\}\), con \(Y\) spazio topologico, esiste una e una sola funzione continua \(\overline f : \prod_\alpha X_\alpha \to Y\) tale che \(p_\alpha \circ \overline f = f_i\):

\xymatrix{
 & \prod_\alpha X_\alpha \ar[d]^{p_\alpha} \\
Y \ar@{.>}[ur]^{\exists! \overline f}\ar[r]_{f_\alpha} & X_\alpha
}

Il motivo per cui le controimmagini \(p_\alpha^\leftarrow U_\alpha\) non formano già una topologia è semplicemente che quando \(A\) ha almeno due elementi, per rendere continua sia \(p_{\alpha_1}\) che \(p_{\alpha_2}\) con \(\alpha_1 \ne\alpha_2\), devono esserci tutti gli insiemi della forma \(p_1^\leftarrow(U_1)\) con \(U_1\) aperto di \(X_{\alpha_1}\), e tutti gli insiemi della forma \(p^\leftarrow U_2\) con \(U_2\) aperto di \(X_{\alpha_2}\); questa famiglia di insiemi non è mai una topologia, la devi chiudere per intersezioni finite e unioni arbitrarie.
- "Everything in Mathematics that can be categorized, is trivial" (P. J. Freyd), which should be understood as: "category theory is good ideas rather than complicated techniques".
- "I always disliked Analysis" (P. J. Freyd)
Avatar utente
killing_buddha
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 2717 di 5766
Iscritto il: 03/05/2008, 17:33

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda marco2132k » 31/07/2018, 23:35

killing_buddha ha scritto:
marco2132k ha scritto:Ciò che qui invece non capisco è perché definire la topologia prodotto come quella meno fine tra quelle che rendono continue le \( p_\alpha \), equivalga a dire che i \( p_\alpha^{-1}(U_\alpha) \) formino una prebase.

E' una costruzione generale, che dòta il dominio \( \prod X_\alpha \) della seguente proprietà universale

Okay, adesso effettivamente mi è chiaro: la topologia iniziale rispetto alle alle proiezioni è la topologia più grezza ove queste siano continue; quando diciamo che è la topologia generata dai $p_\alpha^{-1}(U_\alpha)$ intendiamo proprio dire che è la topologia più grezza contenente questi ragazzi, quella cioè che li ha per sottobase. E' appunto solo la definizione di "sottobase".

$\tau_\Pi$ è quindi l'insieme formato dall'unione di arbitrarie intersezioni finite di $p_\alpha^{-1}(U_\alpha)$. Nel caso $A={1,2}$ è: \[\tau_\Pi = \left\{ \bigcup_{X \in \mathcal T}X : \mathcal T \subset \{U\times V\} \right\}\] dove $U$ e $V$ sono aperti rispettivamente di $X_1$ e $X_2$. Questo dovrebbe essere coerente col fatto che la topologia delle scatole e quella del prodotto coincidono per famiglie finite.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
E' ot: il problema del post credo di averlo risolto. Mi piacerebbe capire questa cosa però...
La topologia delle scatole $\mathfrak X_\square = (X, \tau_\square)$ ha come base l'insieme dei $\prod_\alpha X_\alpha$ al variare di $U_\alpha$ aperto di $X_\alpha$. Divèrtiti a dimostrare che questa è una base.

Non capisco cosa dovrei dimostrare di preciso, se appunto la topologia delle scatole $\tau_\square$ è definita come: \[ \tau_\square = \left\{ \bigcup_{X \in \mathcal P} X: \mathcal P \subset \left\{\prod_\alpha U_\alpha\right\} \right\}\]
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 19 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Dubbio sulla costruzione della topologia prodotto

Messaggioda marco2132k » 03/08/2018, 14:36

marco2132k ha scritto:Mi piacerebbe capire questa cosa però...
La topologia delle scatole $ \mathfrak X_\square = (X, \tau_\square) $ ha come base l'insieme dei $ \prod_\alpha X_\alpha $ al variare di $ U_\alpha $ aperto di $ X_\alpha $. Divèrtiti a dimostrare che questa è una base.

Non capisco cosa dovrei dimostrare di preciso, se appunto la topologia delle scatole $ \tau_\square $ è definita come: \[ \tau_\square = \left\{ \bigcup_{X \in \mathcal P} X: \mathcal P \subset \left\{\prod_\alpha U_\alpha\right\} \right\} \]


Ho capito dopo tre giorni rileggendo questo post che con "dimostra che è una base" era inteso provare che $\tau_\square$ è chiuso per intersezioni finite e unioni arbitrarie. ;-)
marco2132k
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 21 di 2053
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Google [Bot] e 1 ospite