Salve! Forse con due minuti di ricerche sull'internet avrei trovato la risposta a quello che sto per chiedere, ma credo appunto che sia un dubbio piuttosto stupido e che non valga la pena perderci del tempo.
Veniamo al dunque: nella costruzione della topologia del prodotto di due spazi topologici $E$ e $F$ è naturale prendere come intorni le immagini inverse delle proiezioni canoniche $p_{E}:E\times F \to E:(x,y) \mapsto x$ e $p_{F}:E\times F \to F:(x,y) \mapsto y$. La famiglia di intorni di un $z_0=(x_0,y_0) \in E\times F$ sarà quindi la famiglia: $$\biggl\{U\times V: U \in \mbox{ intorni di }x_0, V \in \mbox{ intorni di }y_0\biggr\}$$
Mi chiedo coma mai non vengano considerati semplicemente gli insiemi $p_{E}^{-1}(U)$, con $U$ intorno di $x_0$ e $p_{E}^{-1}(V)$, con $V$ intorno di $y_0$ come intorni.
Mi verrebbe da dire che, in effetti, quell'insieme non forma una topologia: dati $U = A_1\times F$, $V = E\times A_2$, la "mia" topologia non è chiusa rispetto all'intersezione (se ad esempio $E$ ed $F$ sono dotati della topologia discreta, e $A_1 = {x_0}$, $A_2 = {y_0}$, certo $A_{1}\times A_{2}$ non sarà un intorno).
Ha senso?