Spazio quoziente

[Cantor99]

Sul mio libro di geometria è vagamente accennato cosa sia uno spazio quoziente e, dal poco che ho visto, la sua costruzione e molte sue proprietà sono analoghe a quelle dei gruppi quozienti.

Ora ho due domande da porvi. Immaginiamo di avere uno spazio vettoriale $V(K)$ finitamente generato di dimensione $n$ definito su un campo $K$ e sia $U$ un suo sottospazio.
1) prendendo $v_1+U,...,v_t+U$ tali che $v_i+U!=U$, si può affermare che $v_1+U,...,v_t+U$ sono linearmente indipendenti se e solo se tali sono $v_1,...,v_t$?
2) se $W$ è il complementare di $U$ a $V$ (= $U+W=V$ e $U\nnW={0}$) e ${w_(t+1),...,w_n}$ una sua base, posso dire che una base di $V/U$ è ${w_(t+1)+U,...,w_n+U}$?

Risposte parziali che ho dato
1) prendendo una combinazione lineare di $v_1+U,...,v_t+U$ pari all'elemento neutro di $V/U$
$a_1(v_1+U)+...+a_t(v_t+U)=a_1v_1+...+a_tv_t+U=U$
Ho che $a_1v_1+...+a_tv_t \in U$, ma da qui non saprei cosa aggiungere

2) Ho mostrato che $V/U$ e $W$ sono isomorfi e da qui è nata l'idea. Ora considero degli scalari $b_(t+1),...,b_n$ tali che
$b_(t+1)w_(t+1)+...b_nw_n+U=U$
Quindi
$b_(t+1)w_(t+1)+...b_nw_n \in U$
Da qui si deve necessariamente avere
$b_(t+1)w_(t+1)+...b_nw_n=0$
E dunque $b_(t+1)=...=b_n=0$. So già che $dim(V/U)=dim(V)-dim(U)$, quindi avrei finito

Grazie anticipatamente!

[fmnq]

1) Devi anche chiedere che $U\cap \langle v_1,...,v_t\rangle$ sia il sottospazio nullo.
2) Sì.

[anto_zoolander]

c'è solo un 'ma'
il complementare insiemistico di $U$ in $V$ non è uno spazio vettoriale in quanto $vec(0) in U$ e $vec(0) notin VsetminusU$

[Cantor99]

1) Devi anche chiedere che $U\cap \langle v_1,...,v_t\rangle$ sia il sottospazio nullo.
2) Sì.

Mi trovo perfettamente, grazie

@anto_zoolander intendevo quello che ho scritto fra parentesi, se non sbaglio lo lessi sull'Abate. Tu come lo chiami?

[anto_zoolander]

Io l’ho sempre sentito come sottospazio ‘supplementare’.
A parte questo se lo definisci in quel modo puoi chiamarlo anche pincopallino
Che poi sono semplicemente in somma diretta.

[Cantor99]

In effetti potevo dire semplicemente "e sia $W$ tale che $U$ e $W$ sono in somma diretta", hai ragione