Dubbio funzione d'intersezione

[umbe]

Salve, sono nuovo. Preparandomi per un esame, mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Trovare i punti a minima e massima distanza dall’origine dell’ellisse ottenuto
tagliando l’ellissoide $(x^2)/4+(y^2)/4+z^2=1$ con il piano $x+y+z=1$.
Ora, due cose:
1. L'ellissoide d'intersezione è $(5x^2)/4+(5y^2)/4+2xy-2x-2y=0$? Per ottenerla, ho semplicemente isolato la z nella seconda eq e sostituito nella prima. Se da una parte mi sembra ragionevole, dall'altra no, dato che le funzioni che s'intersecano sono ambedue in R3 mentre questa che mi è venuta è in R2.
2. Per trovare i punti di min e max distanza da O devo fare la formula di ottimizzazione della distanza dall'origine $(x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2$, fare il vincolo con due Lagrangiane (un moltiplicatore per ciascun vincolo) e mettere a sistema la derivata in x del quadrato della distanza=derivata in x della somma delle lagrangiane con le stesse derivate in y in z e quelle nei vincoli, per un totale di cinque equazioni a cinque incognite, giusto? E poi calcolo la funzione ellisse in ciascun punto (come con la ricerca dei min e max assoluti), vedendo quelli che danno valore minore (punto di minima distanza) e maggiore (punto di massima distanza). Corretto?
Grazie in anticipo.

[anto_zoolander]

Sei sicuro che si intersechino in $RR^2$?
Piuttosto direi che l’intersezione è ovviamente una figura piana...
Se poni $E_1(x,y,z)=1$ e $E_2(x,y,z)=1$ i due sistemi allora la soluzione del problema sarà l’insieme

$S={(x,y,z) inRR^3: E_1(x,y,z)=E_2(x,y,z)=1}$

Che sta in $RR^3$
Che poi possa essere immerso in $RR^2$ è un’altra cosa

[umbe]

Grazie per la risposta. Ah già è vero, non stanno in R2. Errore concettuale mio. Ad ogni modo la figura che ho ottenuto e che ho scritto $(5x^2)/4 + (5y^2)/4 + 2xy -2x -2y = 0$ è la soluzione esatta come intersezione delle due funzioni.
Riguardo al punto 2, confermi quello che ho scritto oppure ho sbagliato qualcosa?

[anto_zoolander]

Si basta considerare i punti che siano contemporaneamente critici per entrambi i vincoli
In quanto ti basta porre che $(x,y,z)$ soddisfi

${(nablaf(x,y,z)=lambdanablag_1(x,y,z)+munablag_2(x,y,z)),(x^2/4+y^2/4+z^2=1),(x+y+z=1):}$

[umbe]

Ah beh sì, la figura d'intersezione non ha la z nell'equazione perché è una superficie bidimensionale, corretto? Quindi, in generale, in tutti i casi, anche questo, per trovare una figura d'intersezione tra due solidi mi basta isolare la z in una delle due equazioni e sostituirla nell'altra, giusto?

[anto_zoolander]

Una figura ‘di intersezione’, come la chiami tu, deriva semplicemente da un sistema(compatibile) di tot equazioni.
Poi puoi isolare la variabile che ti sembra più utile da isolare.

[umbe]

Giusto, è vero. Grazie mille anto_zoolander.