Iperpiano di separazione

[thedarkhero]

Sia $A$ un aperto convesso di $RR^n$ e sia $\barx \in A$.
Vorrei provare che non può esistere un vettore $v\inRR^n$ tale che $v*x<=v*\barx$ $AAx\inA$.
Se esistesse un tale vettore $v$, allora esisterebbe un iperpiano che separa $A$ e $\barx$, ma questo non è possibile perchè $\barx \in A$.
Non sono però del tutto convinto che la condizione $v*x<=v*\barx$ $AAx\inA$ comporti l'esistenza di questo iperpiano.
Voi cosa dite?

[dissonance]

Siccome \(A\) è aperto, per \(\epsilon >0 \) sufficiente piccolo hai che \(x_{\pm \epsilon}:=(1\pm \epsilon)\overline{x}\) è in \(A\) . Sostituendo \(x=x_\epsilon\) oppure \(x=x_{-\epsilon}\) in \(v\cdot x\le v\cdot \overline x\) ottieni una contraddizione.