Una dispensa, dopo aver definito una curva come una funzione continua $\gamma: I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, dice che quasi sempre si confonderà la curva con la sua immagine poichè "l'immagine determina la curva solo a meno di riparametrizzazioni (composizione di $\gamma$ con un omeomorfismo $t:J \to I$ con J un altro intervallo reale)". Così si possono definire le curve come classi di equivalenza rispetto alla relazione: essere una una riparametrizzazione dell'altra.
L'affermazione tra virgolette è ovviamente falsa, ad esempio se $\gamma_1, \gamma_2$ sono definite su $[0,2\pi], [0,4\pi)$ risp. e mandano $t$ in $(cost,sint)$ allora $im(\gamma_1)=im(\gamma_2)=\mathbb{S}^1$, ma non possono essere equivalenti essendo il dominio di una chiuso e quello dell'altra no.
Però nella pratica, perlomeno in quel poco di Fisica Matematica che ho visto, quando si considerano delle curve le si considerano almeno biregolari e definite su tutto $\mathbb{R}$; in tal caso tornando al (contro)esempio di prima, a meno del verso e del punto iniziale (cioè la posizione in un fissato istante, diciamo $t=0$), c'è solo un'unica curva (in parametrizzazione canonica) che parametrizza il cerchio, cioè $t \to (cost,sint)$ (giusto?).
Quindi anche se teoricamente quell'affermazione è falsa, da un punto di vista pratico ha senso. Sono sulla strada giusta o ho vaneggiato per 10 righe?
Appena ho tempo provo a vedere se è possibile rendere vera l'affermazione per curve che soddisfano certe proprietà, però mi farebbe piacere una vostra opinione.