Dubbio su riparametrizzazioni di curve

[marco.ve]

Una dispensa, dopo aver definito una curva come una funzione continua $\gamma: I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}^n$, dice che quasi sempre si confonderà la curva con la sua immagine poichè "l'immagine determina la curva solo a meno di riparametrizzazioni (composizione di $\gamma$ con un omeomorfismo $t:J \to I$ con J un altro intervallo reale)". Così si possono definire le curve come classi di equivalenza rispetto alla relazione: essere una una riparametrizzazione dell'altra.

L'affermazione tra virgolette è ovviamente falsa, ad esempio se $\gamma_1, \gamma_2$ sono definite su $[0,2\pi], [0,4\pi)$ risp. e mandano $t$ in $(cost,sint)$ allora $im(\gamma_1)=im(\gamma_2)=\mathbb{S}^1$, ma non possono essere equivalenti essendo il dominio di una chiuso e quello dell'altra no.
Però nella pratica, perlomeno in quel poco di Fisica Matematica che ho visto, quando si considerano delle curve le si considerano almeno biregolari e definite su tutto $\mathbb{R}$; in tal caso tornando al (contro)esempio di prima, a meno del verso e del punto iniziale (cioè la posizione in un fissato istante, diciamo $t=0$), c'è solo un'unica curva (in parametrizzazione canonica) che parametrizza il cerchio, cioè $t \to (cost,sint)$ (giusto?).
Quindi anche se teoricamente quell'affermazione è falsa, da un punto di vista pratico ha senso. Sono sulla strada giusta o ho vaneggiato per 10 righe?
Appena ho tempo provo a vedere se è possibile rendere vera l'affermazione per curve che soddisfano certe proprietà, però mi farebbe piacere una vostra opinione.

[anto_zoolander]

in genere si può definire curva una una qualsiasi funzione $gamma in C(I,X)$ dove $I$ è un intervallo reale e $X$ è uno spazio metrico, quindi una qualsiasi funzione $gamma:I->X$ che sia continua sarà una curva.

poi si definisce sostegno di una curva l'immagine della curva ossia $gamma(I)$. Alcuni autori preferisco definire la curva come il sostegno della funzione.

poi si introduce l'importante concetto di parametrizzazioni di una curva con la seguente relazione
siano $phi in C(I,X)$ e $psi in C(J,X)$ si diranno equivalenti se esiste una funzione $sigma:I->J$ che sia continua, biiettiva(quindi con inversa continua) e tale che $phi=psicircsigma$. In poche parole due curve sono equivalenti se hanno lo stesso sostegno

quindi, in poche parole, nella classe $[phi]$ ci stanno tutte e sole le curve che individuano lo stesso sostegno della curva $phi$ legate ad essa con un omeomorfismo di intervalli

è chiaro che l'avere solo lo stesso sostegno di per se non è sufficiente a caratterizzare una buona relazione proprio perchè a curve non si manterrebbero alcune caratteristiche come la chiusura.
Infatti nel tuo esempio la prima curva è chiusa e la seconda no.

Mentre se consideriamo $phi:I->X$ e $psi:J->X$ curve equivalenti, supponendo che la prima sia chiusa, otterremmo che la seconda sarà anch'essa chiusa, di fatto, sia $sigma:J->I$ l'omeomorfismo che lo prendiamo crescente(in quanto continuità + iniettività = monotonia) e posto $I=[a,b]$ , $J=[c,d]$ avremo

$psi(c)=phi(sigma(c))=phi(a)=phi(b)=phi(sigma(d))=psi(d)$

quindi due curve equivalenti sono entrambe:
- intrecciate(semplici)
- chiuse(aperte)