Ciao ragazzi, vi propongo un esercizio che mi ha dato dei grattacapi...
Sia $W = {A in M_(2,2)(RR) : tr(A) = 0}$ l’insieme della matrici a traccia nulla.
(i) Verifica che W è un sottospazio vettoriale di $M_(2,2)(RR)$
(ii) Calcola la dimensione e una base di W
(iii) Trova il sottospazio ortogonale $W^\bot$ rispetto al prodotto scalare standard
I primi 2 punti li ho risolti facilmente considerando $A=((a_(1,1), a_(1,2)),(a_(2,1), -a_(1,1)))$, quindi verificando il vettore nullo, la chiusura per la somma e quella per il prodotto, e trovando poi una base di W prendendo $B_W={((1, 0), (0, -1)), ((0, 1), (0, 0)), ((0, 0), (1, 0))}$, quindi $dim(W)=3$
Altro discorso per il punto 3... Ho preso $A=((a, b), (c, -a))$ e poi provato a calcolare il sottospazio ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt, ma ottengo $A^\bot=((a, 0), (c, (-a(a^2+2c^2+bc))/(a^2+c^2)))$ che sinceramente non saprei come interpretare, dove sbaglio?
Grazie in anticipo!