Sottospazio ortogonale

[CarfRip]

Ciao ragazzi, vi propongo un esercizio che mi ha dato dei grattacapi...
Sia $W = {A in M_(2,2)(RR) : tr(A) = 0}$ l’insieme della matrici a traccia nulla.
(i) Verifica che W è un sottospazio vettoriale di $M_(2,2)(RR)$
(ii) Calcola la dimensione e una base di W
(iii) Trova il sottospazio ortogonale $W^\bot$ rispetto al prodotto scalare standard

I primi 2 punti li ho risolti facilmente considerando $A=((a_(1,1), a_(1,2)),(a_(2,1), -a_(1,1)))$, quindi verificando il vettore nullo, la chiusura per la somma e quella per il prodotto, e trovando poi una base di W prendendo $B_W={((1, 0), (0, -1)), ((0, 1), (0, 0)), ((0, 0), (1, 0))}$, quindi $dim(W)=3$

Altro discorso per il punto 3... Ho preso $A=((a, b), (c, -a))$ e poi provato a calcolare il sottospazio ortogonale con il metodo di Gram-Schmidt, ma ottengo $A^\bot=((a, 0), (c, (-a(a^2+2c^2+bc))/(a^2+c^2)))$ che sinceramente non saprei come interpretare, dove sbaglio?
Grazie in anticipo!

[anonymous_0b37e9]

Matrice generica

$X=((x_(11),x_(12)),(x_(21),x_(22)))$

Condizione 1

$B_1=((0,1),(0,0)) rarr x_(12)=0$

Condizione 2

$B_2=((0,0),(1,0)) rarr x_(21)=0$

Condizione 3

$B_3=((1,0),(0,-1)) rarr x_(11)-x_(22)=0 rarr x_(11)=x_(22)$

Sottospazio ortogonale in forma parametrica

$W^(_|_)=((t,0),(0,t))=t((1,0),(0,1))$

[anto_zoolander]

@Sergeant
non voglio scavalcarti, ma potrebbe essere un po' ambiguo

@Carf
in genere $w in W^(_|_)$ se e solo se $w$ è ortogonale a ogni vettore della base di $W$
Quello che vuole dirti sergeant è che se

$X=[(a,b),(c,d)]$ è la matrice generica di $M_(2)(RR)$ e posti $w_1,w_2,w_3$ i vettori della base di $W$ nell'ordine in cui tu li hai scritti nella base, si deve avere:

$X*e_k=0$ per $k=1,2,3$

da $X*e_1=0$ trovi $a=d$

da $X*e_2=0$ trovi $b=0$

da $X*e_3=0$ trovi $c=0$

pertanto, come detto da sergeant, la generica matrice sarà $X=[(a,0),(0,a)]=a[(1,0),(0,1)]$

se prendi una matrice generica di $W$ e imponi che sia ortogonale ai vettori della base di $W$, come stavi per fare, trovi l'insieme dei vettori di $W$ ortogonali a tutto lo spazio, che è ben diverso.

[anonymous_0b37e9]

... non voglio scavalcarti, ma potrebbe essere un po' ambiguo ...

Ogni contributo è ben accetto.

[CarfRip]

Grazie a entrambi! Siete stati molto chiari