Un esercizio veloce che però ho molti dubbi

[jackeric]

Buongiorno a tutti volevo avere dei chiarimenti su questo esercizio:
Sia dato in R^3 un insieme B={v1,v2,v3,v4} con v1=(2,-3,-4) v2=(1,0,-2) v3=(0,4,-3) v4=(2,1,2)
devo estrarre da B una base di R^3 quindi 3 vettori, scrivo i vettori in colonna e ottengo la matrice 3x4 e calcolando i determinanti delle sottomatrici 3x3 ed ecco le mie domande
a) Siccome è in R^3 perchè una base ne ha 4 di vettori?, o si intende che ci possono stare solo 3 basi?
b) Per costruire la base devo verificare l'indipendenza lineare calcolando i determinanti delle 4 sottomatrici e almeno è uno diverso da 0, quindi ha rango massimo =3 ma siccome i vettori sono 4, 3 vettori sono indipendenti tranne uno, come faccio a sapere quale?
c) ho provato anche usando la definizione di linearmente indipendenti e costruire il sistema lineare ma ottengo 3 equazioni con un totale di 4 incognite sparse, come faccio a risolverlo?

La professoressa sulle dispense calcola solo il determinante della sottomatrice ottenuta senza v3 e il determinante è 18.
Grazie e scusate il disturbo.

[Magma]

Sia dato in $RR^3$ un insieme $mathcalB={v_1,v_2,v_3,v_4}$
devo estrarre da $mathcalB$ una base di $rR^3$

a) Siccome è in $rR^3$ perchè una base ne ha $4$ di vettori?

$mathcalB$ non è una base ma un banale insieme contenente $4$ vettori.

b) Per costruire la base devo verificare l'indipendenza lineare

Non devi costruire, ma estrarre una base da $mathcalB$ eliminando un vettore che sia esprimibile come C.L. dei rimanenti. Ovviamente una base contiene, per definizione, vettori l.i. che devono essere anche generatori; ma questo non è un problema in forza del lemma di Steinitz.