Matematicamente.it

In questi giorni mi è salito un dubbio esistenziale sulla diseguaglianza triangolare $|u+v|<=|u|+|v|$ : quando vale l'uguaglianza? La risposta dovrebbe essere quando $u,v$ sono linearmente dipendenti e teoricamente mi trovo!

Ripercorrendo la dimostrazione ho
$|u+v|^2=\sigma(u+v,u+v)=|u|^2+2\sigma(u,v)+|v|^2 <=|u|^2+2|u||v|+|v|^2 =(|u|+|v|)^2$
Estraendo la radice ho la tesi

Ora se $u,v$ sono linearmente dipendenti ho che $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e vale l'uguaglianza. Se vale l'uguaglianza ho $|u||v|=|\sigma(u,v)|$ e $u,v$ sono linearmente dipendenti (perchè la diseguaglianza di Cauchy-Shwarz diventa un'uguaglianza se e solo se i vettori sono linearmente dipendenti)

Adesso però, se in $\RR^2$ col prodotto scalare standard considero, $u=(1,-1)$ e $v=(-1,1)$
$|u+v|=0$
$|u|+|v|=2sqrt(2)$

Su qualche altro libro ho letto che $u,v$ devono essere 'concordi' ma questo non lo ritrovo nella dimostrazione precedente, né sul mio di libro..
Ringrazio anticipatamente

Bene ho capito, grazie. Non mi spiego perchè il mio libro non l'abbia specificato

Cantor99 ha scritto:Bene ho capito, grazie. Non mi spiego perchè il mio libro non l'abbia specificato

Era un errore. Con il tuo controesempio si vede che i due vettori devono essere concordi, non basta che siano linearmente dipendenti.