Matematicamente.it

Salve, più che un aiuto nella comprensione dell'esercizio sono qui a chiedere conferma del procedimento che ho utilizzato per risolverlo!

$T ((x, y), (z, w)) = (x + 3y)t^2 + (x + y + z)t + (y -3z + w)$
Trova tutte le matrici $X in M_(2,2)RR$ tali che $T(X) = 31t^2 + 3t − 43$

Io ho semplicemente costruito e sviluppato il sistema
$\{(x + 3y = 31),(x+y+z = 3),(y-3z+w = -43),(w=w):}$
da cui si ottiene $\{(x = (-226-3w)/5),(y = (127+w)/5),(z = (114+2w)/5), (w=w):}$

Quindi la matrice X in questione dovrebbe essere data, per $w=a$, da: $X=((-226/5-(3a)/5, 127/5+a/5), (114/5+(2a)/5, a))$
Mi sono fatto un po' intimorire dai numeracci, ma è così che si deve procedere per risolvere il quesito?

Sì ma, come sempre in algebra lineare, esiste un metodo di evitare i conti.

Pulendo un po' la domanda ti accorgerai che devi trovare quei vettori di $RR^4$ che formano la controimmagine mediante $T$ del vettore $(31,3,-43)$; siccome \(T : M_{2,2}(\mathbb R) \to \mathbb R_{\le 2}[t]\) si rappresenta come una matrice $3\times 4$, essa non può essere iniettiva (deve avere nucleo non banale per la formula delle dimensioni); lo trovi facilmente, e i vettori che ti interessano sono \(v + \ker T\), dove $v$ è una qualsiasi soluzione particolare del sistema lineare che vai risolvendo (puoi porre, per esempio, $a=0$).

Quanto detto da Buddha vale in generale per omomorfismi di spazi $L:V->W$ dove si richiede di trovare $L^(leftarrow)(w)$ con $w$ che sta nell’immagine di $L$

Non ci avevo pensato! Tra l'altro avevo già dovuto calcolare una base del Kernel in uno dei punti precedenti...
Grazie mille