Re: Prima Parte

Messaggioda Milenix » 14/08/2018, 10:39

j18eos ha scritto:In genere si scrive \(\displaystyle\mathbb{R}[x]_{\leq3}=\mathbb{V}\), altrimenti uno potrebbe capire che tu consideri lo spazio vettoriale dei polinomi di grado \(\displaystyle3\) e non di grado al più \(\displaystyle3\).

Fine prima parte.

Lo so, ma non riuscivo a scriverlo.
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 14/08/2018, 10:47

Magma ha scritto:
Milenix ha scritto:[…] [Si consideri la seguente] applicazione lineare
$ F: qquad RR[x]_(<=3)->mathbb(K)^4 $

definita come
$ F(p(X))=((p(0)),(p(1)),(p(2)),(p(3))) $


rispetto alla base $mathcalB:={1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)} $. Devo scrivere la matrice associata a $F$.


Milenix ha scritto:Pensavo di risolverlo trovando la matrice associata rispetto alla base canonica e passare per il cambiamento di base.

Cos'è una matrice associata per te? Io considererei la matrice $M_(mathcal(EB))(F)$ (1) dove $mathcalB$ è la base data e $mathcalE$ è la base canonica di $mathbbK^4$.


Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
anto_zoolander ha scritto:@magma a occhio e croce dovrà calcolare l’applicazione inversa :-k

Ti piace vincere facile :roll:

Non ho capito :? , se invece lo facessi direttamente scrivendo $ p(0)=ao;
p(1)=a0+a1+a2+a3;
p(2)=a0+2a1+4a2+8a3;
p(3)=a0+3a1+9a2+27a3; $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

Note

  1. Le componenti delle immagini dei vettori della base $mathcalB$ rispetto la base $mathcalE$: i.e. $[F(b_i)]_mathcalE$
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Magma » 14/08/2018, 11:28

Milenix ha scritto:Se invece lo facessi direttamente scrivendo

$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:

$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$

quindi
$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 14/08/2018, 11:36

Magma ha scritto:
Milenix ha scritto:Se invece lo facessi direttamente scrivendo

$ p(0)=a_o$
$p(1)=a_0+a_1+a_2+a_3$
$p(2)=a_0+2a_1+4a_2+8a_3$
$p(3)=a_0+3a_1+9a_2+27a_3 $
e poi valutando nella base $ \mathcal(B) $ mi verrebbe $ \mathcal(( ( 1 , 0 , 0,0 ),( 1,1,0,0),( 1,2,2,0 ),( 1,3,6,6 ) ) ) $

L'applicazione $F$ è definita rispetto alla base $mathcalB$, quindi come polinomio di $RR[X]_(<=3)$ si prende:

$p(x)=a_o +a_1x+a_2x(x-1)+a_3 x(x-1)(x-2), qquad a_i in RR$

quindi
$p(0)=a_o$
$p(1)=a_o +a_1$
$vdots$

non ho capito, sono proprio in difficoltà.
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 14/08/2018, 11:53

Forse ho capito, se scrivo p con i polinomi della base e valuto in p(0),p(1),p(2),p(3)ottengo $ p(0)=a0; p(1)=a0+a1; p(2)=a0+2a1+2a2; p(3)=10+3a1+6a2+6a3 $ e tramite la base canonica ho la matrice che ho scritto sopra, giusto? Se faccio così non mi serve la matrice di cambiamento di base, vero?
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Magma » 14/08/2018, 17:08

Ma le immagini dei vettori rimanenti della base $mathcalB$?
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Re: Applicazione lineare con polinomi

Messaggioda Milenix » 15/08/2018, 09:52

Non ci sto capendo niente...
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Messaggioda j18eos » 15/08/2018, 12:25

Milenix ha scritto:Non ci sto capendo niente...
Perfetto! :smt023

Ricominciamo daccapo. :wink:

Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).

Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!

Invece, ti suggerisco di dimostrare che:
  1. \(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);
  2. \(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).
Ipocrisìa e omofobìa,
fuori da casa mia!

Semplicemente Armando. ;)
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Re:

Messaggioda Milenix » 18/08/2018, 09:57

j18eos ha scritto:
Milenix ha scritto:Non ci sto capendo niente...
Perfetto! :smt023

Ricominciamo daccapo. :wink:

Sia \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{K}[x]_{\leq3}\) lo spazio vettoriale dei polinomi di grado al più \(\displaystyle3\) a coefficienti in un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\); consideriamo la sua base standard \(\displaystyle\{1,x,x^2,x^3\}\).

Se tutto ciò non ti è chiaro; esercizio: dimostrare le precedenti affermazioni!

Invece, ti suggerisco di dimostrare che:
  1. \(\displaystyle\{1,x,x(x-1),x(x-1)(x-2)\}\) è una base di \(\displaystyle\mathbb{V}\);
  2. \(\displaystyle F:p\in\mathbb{V}\to(p(0),p(1),p(2),p(3))\in\mathbb{K}^4\) è un'applicazione lineare di spazi vettoriali (su \(\displaystyle\mathbb{K}\)).

Si, questo l'ho fatto, era il primo punto dell'esercizio. Volevo solo sapere se i passaggi che ho fatto precedentemente sono giusti oppure dove sto sbagliando...
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Messaggioda j18eos » 18/08/2018, 19:25

Ottimo! :smt023

Se ti chiedessi di scrivere la matrice di cambio base: cosa faresti?
Ipocrisìa e omofobìa,
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Semplicemente Armando. ;)
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