Algebra di lie di un gruppo di lie

Salve ragazzi, vi posto il testo su cui sto studiando e ho diversi dubbi:



Come si potrebbe dimostrare il punto 3) non essendo F un omomorfismo di gruppi? In base semplicemente alla definizione data 2 righe sopra?

Per dimostrare 3 non ti serve che $F$ sia un omomorfismo di gruppi; la tesi corrisponde a mostrare che è un omomorfismo di algebre di Lie. La dimostrazione mi sembra fatta nel testo, cosa non capisci?

Cioè il l'insieme di tutti i campi vettoriali è un'algebra di lie. Se F è un diffeomorfismo (quindi omeomorfismo differenziabile con inversa differenziabile) possiamo ricavare qualcosa su F_* X ?

La corrispondenza che manda $F : G\to G$ in $F_*$, definita tra i suoi spazi tangenti, è evidentemente funtoriale (resta da stabilire con che codominio), e questo ti dice che $F_*$ è un isomorfismo perché lo era $F$.

Ti resta da vedere che $F_*$ commuta con le parentesi di Lie, credo siano solo dei conti con la definizione dat aappena sopra.

Ma non abbiamo studiato i funtori (questo è un corso di geometria II per fisici)

Significa semplicemente che $(F\circ H)_* = F_* \circ H_*$ e che $(id_G)* = id_{TG}$. Questo implica che se $F$ è un isomorfismo, tale è anche $F_*$.

Si ho capito grazie

Voglio ancora chiederti una cosa perchè non mi è chiaro ciò

Il differenziale l’abbiamo definito così







Il prodotto di campi vettoriali così:





Io sto cercando di dimostrarlo così





Ha senso?

Cosa stai cercando di dimostrare?

Il punto 3 presente sul primo foglio con quello che ho studiato dal testo riportato