Teorema sulla lunghezza d'arco

[ludovica_97]

Buonasera, ho il seguente teorema da dover dimostrare:
"una curva regolare e' rettificabile e la sua lunghezza e' data da $\int_a^b ||x'(t)|| dt$"

Per quanto riguarda la parte "una curva regolare e' rettificabile" non ho problemi. Ora devo dimostrare la seconda parte.
Innanzitutto mi servo di un lemma che mi dice che, nelle ipotesi del teorema ho che per ogni $\epsilon$ e $\delta$ positivi esiste una suddivisione di ampiezza minore di $\delta$ tale che la corrispondente poligonale per la curva C e' tale che $|l(C)-l(P)|< \epsilon/3 $
Parto dalla dimostrazione del lemma per poi proseguire con il teorema mettendo in neretto le parti che non mi sono chiare.
$l(C)=$(sup)$_P(l(P))$ per definizione, quindi esiste una poligonale iscritta, essendo la curva rettificabile per ipotesi, che corrispondera' ad una certa suddivisione. Prendendo $P'>P$ poligonale corrispondente ad una suddivisione piu' fitta, sicuramente $l(C)\geq l(P')$. Posso quindi trovare poligonali P' corrispondenti a suddivisioni piu' fitte di ampiezza minore di $\delta$.
La parametrizzazione di C e' $x(t)=(x_1(t),x_2(t),x_3(t))$ di classe $C^r$ e con $x'(t)=(x_1'(t),x_2'(t),x_3'(t))$ continua nell'intervallo [a,b] e percio' uniformemente continua per Heine-Cantor.
Per definizione di uniforme continuita' allora ho che per ogni $\epsilon$ esiste $\delta'$ tale che se $|t-t^*|<\delta'$ allora $|x_i'(t)-x_i'(t^*)|<\epsilon/(9(b-a))$
Fissato $\epsilon>0$ esiste $\delta''$ tale che per ogni suddivisione S che abbia ampiezza minore di $\delta''$ si ha $\int_a^b ||x'(t)|| dt - \sum_(i=1)^n (|x'(k)| |t_i-t_(i-1)|)$ (per Lagrange) $<\epsilon/3$"

Definisco $D=min {\delta, \delta', \delta''}$ e devo mostrare che $|l(C)-\int_a^b ||x'(t)|| dt|=0$
$|l(C)-\int_a^b ||x'(t)|| dt|=$|l(C)+l(P)-l(P)-\int_a^b ||x'(t)|| dt|<$|l(C)+l(P)|-|l(P)-\int_a^b ||x'(t)|| dt|$
Prendo P suddivisione di ampiezza minore di D e quindi di $\delta$ quindi qui posso applicare il lemma
Ora studio $|l(P)-\int_a^b ||x'(t)|| dt|=\sum_(i=1)^n |x(t_i)-x_(t-1)|-\int_a^b| ||x'(t)|| |dt$
Ora non so piu' continuare, ho una serie di appunti molto caotici

[dissonance]

Vedi qui:

https://www.scribd.com/document/2577997 ... l-3ed-1991

pag.133

[ludovica_97]

Purtroppo non mi e' possibile scaricarlo

[dissonance]

E allora prendilo in prestito in biblioteca, si chiama "Principi di analisi matematica" di Walter Rudin, terza edizione.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Se ti ingegni un po' lo trovi facilmente anche su internet.