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Buon pomeriggio. Propongo un esercizio che ho provato a svolgere:
Sia $ X $ uno spazio $ T_1 $ senza punti isolati. Dimostrare che ogni aperto non vuoto di $ X $ contiene infiniti punti
Se $ X $ è $ T_1 $ e non possiede punti isolati , allora ogni intorno $ U $ di $ x $ non possiede punti isolati. Ma quindi ogni punto $ x in U $ è di accumulazione $\rightarrow U $ possiede infiniti punti
Non so perché, ma mi sembra troppo banale risolverlo in questo modo, sicuramente c'è qualcosa che non va

Sono sicuro che da qualche parte c'è un errore, anche se non lo vedo, sono sicuro che c'è!

Inizia col dimostrare che \(\displaystyle X\) è un insieme con infiniti punti!

Indizio: se \(\displaystyle X\) fosse un insieme finito...

Grazie come sempre per la risposta (in questi giorni mi stai salvando)
(comunque sì, più o meno faccio come quello con me stessa )
Se $ X $ fosse finito e $ T_1 $ sarebbe discreto ( ed è anche $ T_2$). Allora tutti i punti di $ X $ sarebbero isolati $\Rightarrow $ contraddizione perché $ X $ non possiede punti isolati. Allora l' intorno di ogni punto possiede infiniti punti e ogni punto è di accumulazione. Quindi $ U $ ( che è un intorno aperto) possiede infiniti punti

Eh no!, non basta per affermare che il generico insieme aperto ha infiniti punti; di nuovo per assurdo: esista un insieme aperto \(\displaystyle A\) finito, che succede?

Grazie ancora. Sia $ A $ un aperto di $ X $. Allora anche $A $ è finito ed è discreto. Allora ogni punto è un intorno di sé stesso, quindi il più piccolo intorno è dato da un punto singolo. Ma $ X $ non ha punti isolati, quindi $ A $ non non può contenere un solo punto ( o un numero finito di punti)

Esatto!

Grazie mille