Base ortonormale
Inviato: 18/09/2018, 23:54Ciao a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio...
Sia $RR^4$ lo spazio vettoriale euclideo con il prodotto scalare standard. Sia $U_1$ il sottospazio generato dal vettore $(1,1,1,1,)^t$ trasposto ed $U_2$ il sottospazio descritto dalle soluzioni del sistema $x + y = w − 2x = 0$ dove x, y, z, w sono le coordinate in $RR^4$.
1. Determinare una base ortonormale di $U_2$.
2.Completare la base trovata al punto 1) a una base ortonormale di $RR^4$.
3. Siano $p_1 : RR^4 rarr RR^4$ e $p_2 : RR^4 rarr RR^4$ le proiezioni ortogonali rispettivamente su $U_1$ e $U_2$. Posto $v=(1,1,1,1,)^t$, determinare $s=p_1(v)$ e $t=p_2(v)$.
4. Dimostrare che p1 e p2 hanno gli stessi autovalori, ma con molteplicità geometriche diverse.
Ho provato ad applicare Gram Schmidt per il primo punto ma non so se è giusto... Devo scrivere per prima cosa la matrice associata al sottospazio $U_2$?
Grazie per l'aiuto
Sia $RR^4$ lo spazio vettoriale euclideo con il prodotto scalare standard. Sia $U_1$ il sottospazio generato dal vettore $(1,1,1,1,)^t$ trasposto ed $U_2$ il sottospazio descritto dalle soluzioni del sistema $x + y = w − 2x = 0$ dove x, y, z, w sono le coordinate in $RR^4$.
1. Determinare una base ortonormale di $U_2$.
2.Completare la base trovata al punto 1) a una base ortonormale di $RR^4$.
3. Siano $p_1 : RR^4 rarr RR^4$ e $p_2 : RR^4 rarr RR^4$ le proiezioni ortogonali rispettivamente su $U_1$ e $U_2$. Posto $v=(1,1,1,1,)^t$, determinare $s=p_1(v)$ e $t=p_2(v)$.
4. Dimostrare che p1 e p2 hanno gli stessi autovalori, ma con molteplicità geometriche diverse.
Ho provato ad applicare Gram Schmidt per il primo punto ma non so se è giusto... Devo scrivere per prima cosa la matrice associata al sottospazio $U_2$?
Grazie per l'aiuto