Superfici rigate sviluppabili

[ludovica_97]

Ho il seguente teorema del quale non ho chiare principalmente due cose nella dimostrazione:
Sia S una superficir rigata, essa è sviluppabile se e solo se è un cono, un cilindro o una superficie sviluppabile circoscritta ad una curva

Innanzitutto ho che una superficie rigata è sviluppabile se il piano tangente è fisso lungo ogni generatrice quindi, definendo $x(t,u)=f(t)+ug(t)$ il piano tangente non dipende da u. Il piano tangente è dato da $|y-f-ug, f'+ug', g|=0 $ (indico il determinante). Quindi posso dividerlo in $|y-f, f', g|+u|y-f, g', g|=0$
Chiamo il primo pezzo F(y) e il secondo G(y). Quindi ho una superficie sviluppabile se F(y)=0, o G(y)=0 o F e G sono linearmente dipendenti
Per la parte di F(y)=0 o G(y)=0 non ho problemi.
Considero quando F e G sono dipendenti. Questo significa che esiste un a tale che $F(y)+aG(y)=0$ e quindi se f'+ag' e g sono linearmente dipendenti. questo significa che sono linearmente dipendenti nei punti in cui cade la regolarità della rigata ma quindi ho che, lungo ogni generatrice ho un punto P in cui cade la regolarità. Ho quindi due possibilità
-P è fisso e quindi ho un cono che sarebbe il vertice
-P non è fisso e quindi il variare di P descrive una curva C' che è un'altra direttrice e ha rappresentazione paramentrica x=h(t) quindi, considerando k(t) direzione delle generatrici ho x(t)=h(t)+uk(t) superficie rigata. Calcolo $x_t$ $x_u$ e ho che sono linearmente dipendenti se lo sono h' e k quando u=0 non capisco proprio cosa posso cavarne da questo insieme di nozioni buttate li

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