Buonasera oh esimi matematici e ingegneri ,certo del vostro esperiente sapere chiedo a voi :
data una matrice simmetrica (a coefficienti reali) ,la sua diagonalizzante è sempre una matrice ortogonale ? E se negativo ,in quale caso non lo è ?
Il secondo chiarimento che vi chiedo è il seguente ,trovata la matrice ortogonale che diagonalizza una matrice simmetrica( a coefficienti reali) associata ad un endomorfismo di Rn-prodotto scalare standard ,come posso ottenere una base ortonormale di Rn ?
La mia risposta è la seguente (ma non so se è corretta !!Chiaritemi) : io penso che ( in forza al fatto che autovettori associati ad autovalori distinti sono ortogonali ) se la matrice simmetrica presenta autovalori tutti distinti ,allora avrò come diagonalizzante una matrice ortogonale ( i cui vettori colonna sono già una base ortonormale di Rn ) ;
al contrario se presenta autovalori con molteciplità maggiore di uno la sua diagonalizzante non sarà ortogonale ,tuttavia posso renderla ortogonale applicando Gram-Schmidt e ortonormalizzando i suoi vettori riga o colonna ( i quali in questo modo ,se presi per colonna ,rappresenteranno una base ortonormale di Rn ) è giusto ?