Dubbio teorico diagonalizzazione matrice simmetrica

[Magma]

Io sapevo che una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile

Ad ogni matrice $AinM_n(RR)$ possiamo associare un endomorfismo $varphi_A : RR^n -> RR^n$ la cui matrice associata rispetto alla basa canonica è $A$ (¹); pertanto $varphi_A$ è definito ponendo

$\varphi_A(v)=Av, qquad v in RR^n$

in questo modo possiamo dire che

una matrice $A$ è diagonalizzabile $hArr varphi_A$ è semplice

Prendendo una matrice simmetrica $S$, l'endomorfismo ad esso associato è autoaggiunto e, per il teorema spettrale, è semplice; quindi $S$ è diagonalizzabile.
Tuttavia,

un endomorfismo $psi$ è autoaggiunto $hArr M_O(psi)$ è simmetrica; con $O$ base ortonormale di $RR^n$

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Ora, considerando la base $A={v_1,v_2}={((1),(1)),((2),(1))}$ e il seguente endomorfismo

$f: qquad RR^2->RR^2$

$f(v_1)=v_1+v_2$
$f(v_2)=v_1-v_2$

si ha che

$M_A(f)=((1,1),(1,-1))$

$f$ è autoaggiunto?

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Note

1. ovvero $M_mathcalE(varphi_A)=A$ ↑