posizione di piani nello spazio

[Oscar19]

Ciao a tutti
ho svolto questo esercizio e volevo sapere se era giusto
Testo
si consideri i piani s₁ di eq. x+3y+z+k=0 e s₂ di eq. 2kx-(k-2)y+z-9=0, determinare se esistono i valori di k per cui :

s₁, s₂ sono ortogonali
s₁, s₂ sono incidenti
s₁, s₂ sono paralleli

Soluzione
Poichè s₁, s₂ dipendono da un parametro. Occorre studiare al variare del parametro k appartenente ai numeri reali, la compatibilità del sistema lineare parametrico dei piani x+3y+z+k=0 e 2kx-(k-2)y+z-9=0 (cioè li metto a sistema)

poi scrivo la matrice completa b e la matrice incompleta A

faccio il rango della matrice incompleta (2x3) ottengo rangoA=2 con detA=(2-7k) con K=2/7

allora è tale anche per il rango della matrice completa rangoB=2

arrivo alla conclusione che i due piani sono incidenti ed hanno ∞₁ soluzioni dati da tutti i punti della retta intersezione dei due piani, cioè dal prodotto vettoriale dei coefficienti direttori, ottenendo così k+7 dove con k=-7 quindi il prodotto vettoriale è nullo e i piani sono anche perpendicolari

Per favore mi dite se è corretto???'
Grazie a chi mi aiuterà

[Oscar19]

qualcuno mi può dare una mano per favore ]
Grazie...

[Magma]

$s_1: qquad x+3y+z+k=0$

$s_2: qquad 2kx-(k-2)y+z-9=0$

[…]con $k=-7$ il prodotto vettoriale è nullo e i piani sono anche perpendicolari

Considerando le relative direzioni ortogonali dei piani $v_1=((1),(3),(1))$ e $v_2=((2k),(2-k),(1))$, si ha che:

$s_1 _|_ s_2 hArr v_1 _|_ v_2$

$hArr v_1*v_2=(1,3,1) ((2k),(2-k),(1))=0$

$ hArr 2k+6-3k+1=0 hArr k=7$