esercizio endomorfismo

[Oscar19]

Ciao a tutti
oggi vi propongo questo esercizio, dove mi sono cimentato più volte e non riesco a risolverlo
Sia dato l'endomorfismo f:R ²² tale che f (X)=X+2Xᵗ
Scrivere in maniera esplicita l' espressione della f (e questo lo so fare perchè X= $| (a,b),(c,d)|$ quindi lo sostituisco in X+2Xᵗ)
a) determinare la matrice associata rispetto alla basi canoniche
( essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01) Giusto?)
b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
c) $|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$la matrice associata rispetto alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
e alla base
$|((1,0),(0,0))|$ , $|((1,0),(1,0))|$ , $|((0,0)(0,1))|$ , $|((0,6),(0,0))|$
d)determinare la dimensione e base dell'immagine e del nucleo di f ,
e)dire se l'applicazione lineare rappresenta un isomorfismo,

Il mio più grosso problema sono i punti b), c) , premetto che ho letto e riletto la spiegazione del mio prof.ssore e il libro di testo, ma il guaio è che la teoria (forse lo capita) e la pratica che proprio non riesco....mi confondo
Mi potreste aiutare per favore...

Grazie in anticipo a chi mi aiuterà ....

[cooper]

essendo in R ²² le basi canoniche sono T(e1)= (10) e T(e2)=(01)

se stai lavorando con le matrici quelle che hai scritto non lo sono, e quindi non possono essere le basi canoniche di $RR^(2 xx 2)$
per gli altri due punti, io userei l'isomorfismo tra lo spazio delle matrici $n xx n$ e lo spazio $RR^(n^2)$ e poi la matrice di cambio di base

[Oscar19]

Ciao Cooper
Grazie per la tua risposta...
Scusami ma non ho capito quello che mi vuoi dire....
Mi faresti qualche esempio??!!.. L'unica cosa che ho capito è che ho sbagliato le basi canoniche... il che non ci vuole tanto...
Quali sono le basi canoniche allora in questo caso? Di solito svolgo altri tipi di esercizi sulle applicazioni lineari è la prima volta che mi imbatto in questa tipologia e sono nella più totale confusione
Ti ringrazio in anticipo per il tuo preziosissimo aiuto

[cooper]

Mi faresti qualche esempio??!!..

dato che probabilmente sei più abituato a lavorare con i vettori anzichè le matrici può essere comodo "trasformare" le matrici in vettori. possiamo quindi usare l'isomorfismo che ti ho suggerito prima e confondere tra loro $M_n(RR)$ e $RR^(n*n)$. quindi presa una matrice (nel tuo caso $2 xx 2$), $( ( a , b ),( c , d ) ) $ questa puoi vederla come un vettore di $RR^4$ $((a),(b),(c),(d))$. in questo modo lavori con i vettori e non con le matrici.

Quali sono le basi canoniche allora in questo caso?

la base canonica di $M_2(RR)$ è $B={( ( 1 , 0 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 1 ),( 0 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )}$

[Oscar19]

Ciao Cooper
Scusa il ritardo
Ti ringrazio per il tuo preziosissimo aiuto...
Quando tu dici di utilizzare isoformismo intendi una proprietà giusto?
Il professore c'ha solo spiegato la definizione ovvero quando un'applicazione è biettiva (cioè suriettiva e iniettiva....)
Ho cercato sul libro di testo ma l'unica cosa che ho trovato è stato un teorema che dice "due spazi vettoriali V e W sono isoformi se e solo se hanno la stessa dimensione"
Per favore mi faresti capire cosa devo fare? Sono in difficoltà non riesco proprio a svolgere questo esercizio!!
C'è un altro metodo più "semplice"(fatemi passare questa parole) o meglio che io possa svolgere senza andare in tilt.
Grazie sempre per la tua risposta

[cooper]

Ho cercato sul libro di testo ma l'unica cosa che ho trovato è stato un teorema che dice "due spazi vettoriali V e W sono isoformi se e solo se hanno la stessa dimensione"

è proprio qui il punto. lo spazio delle matrici $2 xx 2$, che è quello su cui è definita la funzione della traccia, ha la stessa dimensione di $RR^4$. puoi in un qualche senso vedere le matrici come dei vettori e risolvere tutto il problema come se avessi vettori e non matrici. per farlo devi trasformare tutte le matrici in vettori secondo, per esempio, la regola $((a, b),(c, d)) -> ((a),(b),(c),(d))$. quindi l'elemento 11 della matrice diventa il primo elemento del vettore, l'elemento 12 diventa la seconda entrata del vettore e così via.
per esempio se hai la matrice $((5, e^3),(3, sqrt2))$ questa diventa il vettore $((5),(e^3),(3),(sqrt2))$
se trasformi tutte le matrici in questo modo otterrai anzichè basi di $RR^(2 xx 2)$, otterrai basi di $RR^(4)$.
prova a cercare che ci sono diversi esercizi con l'isomorfismo. per esempio questo.
se dovessi avere dubbi, chiedi pure.

[Oscar19]

Ok Cooper ci proverò
Grazie per il tuo contributo , non vorrei essere ripetitivo ma sei di grande aiuto
Ti farò sapere....

[cooper]

Grazie per il tuo contributo , non vorrei essere ripetitivo ma sei di grande aiuto

sono contento ti sia servito

[Oscar19]

Ciao Cooper
Rieccomi qui....
ho provato ha risolvere questo benedetto esercizio
Spero che sia giusto....te lo scrivo passo passo per vedere che stupidaggini ho scritto....Preparati

Essendo f (X)=X+2Xᵗ ho trovato la matrice che è...(Ah! premetto ho voluto provare con le matrici e non con i vettori , credo che al prof. piacciono così o per meglio dire è più corretto!!)

$((a,b),(c,d))$ + 2* $((a,c),(b,d))$ = $((3a,b+2c),(c+2b,3d))$

a) Ora trovo la matrice associata alle basi canoniche f(e11), f(e12), f(e21), f(e22),

trovo l'immagine dei rispettivi vettori f

f(e11)=$ |((1,0),(0,0))| $=$ |((3,0),(0,0))| $
f(e12)=$ |((0,1),(0,0))| $=$ |((0,1),(2,0))| $
f(e21)=$ |((0,0),(1,0))| $=$ |((0,2),(1,0))| $
f(e22)=$ |((0,0),(0,1))| $=$ |((0,0),(0,3))| $

Fino qui è giusto???????

La matrice associata A rispetto alle basi canoniche è

A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$

Nell'esercizio è richiesto l'Im(f) , applico Gauss per ridurre la matrice associata

A=$((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3))$ $->$ $((3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,0,-3,0),(0,0,0,3))$ mi fermo qui con la riduzione di Gauss

Non vorrei scrivere sbagliato ma ottengo Im(f)={(3,0,0,0),(0,1,2,0),(0,2,1,0),(0,0,0,3)} che è la base di Im(f) quindi

dim Im(f)=4

applico il th nullità del rango è ho per il nucleo

dim Ker(f)= n-dim Im(f)= 4-4=0

Giusto fin qui ?????

Per determinare Ker(f) uso le soluzioni del sistema omogeneo a cui è associata la matrice A, considero però quella ridotta già a gradini (per facilitare i conti)

$\{(3x=0),(y+2z=0),(2y+z=0),(3t=0):}$

le soluzioni sono (0,0,0,0)

quindi la Base( Ker(f))=(0,0,0,0)

L'esercizio mi richiedeva se era un'isomorfismo.....per me lo è essendo iniettiva e suriettiva

Spero Cooper di non aver scritto tante cretinate e chiedo venia per questo....

Ma per svolgere questi due punti come devo fare? Devo fare come prima nel punto a)

b)determinare la matrice associata rispetto alla basi canonica e alla base

$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$

c)determinare la matrice associata rispetto alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$
e alla base
$((1,0),(0,0))$ , $((1,0),(1,0))$ , $((0,0),(0,1))$, $((0,6),(0,0))$

Inoltre il punto C) e giusto come l'ha scritto il prof..?!

P.S. Volevo chiederti una cosa... se vorrei farti vedere un'altro esercizio molto simile devo aprire un nuovo argomento o lo posso scrivere qui ?
Grazie infinite ....sempre grato

[cooper]

credo che al prof. piacciono così o per meglio dire è più corretto!!)

non c'è un più corretto o meno corretto se entrambi i metodi sono corretti e validi. ma procediamo pure come sei più comodo

Giusto fin qui ?????

tutto benissimo se i vettori della base dell'immagine sono le quattro matrici che hai calcolato prima.

le soluzioni sono (0,0,0,0)

quindi la Base( Ker(f))=(0,0,0,0)

il ragionamento è corretto ed hai fatto correttamente ma hai fatto lavoro inutile: se ha dimensione zero naturalmente deve venire la unica matrice nulla. inoltre io non direi che quella sia la base del nucleo: la matrice (come per l'immagine: stiamo lavorando con matrici quindi le basi devono essere costituite da matrici) nulla è linearmente dipendente e dunque non può essere una base. direi piuttosto che il nucleo sia generato dalla sola matrice nulla (e la cosa ha senso perchè l'applicazione è iniettiva)

L'esercizio mi richiedeva se era un'isomorfismo.....per me lo è essendo iniettiva e suriettiva

Ma per svolgere questi due punti come devo fare? Devo fare come prima nel punto a)

fai come prima. trovi l'immagine dei vettori della prima base e poi esprimi questi ultimi in termini della seconda base

Inoltre il punto C) e giusto come l'ha scritto il prof..?!

in che senso? come l'hai scritto nel primo messaggio era confusionario come l'hai scritto qui mi sembra apposto. cosa ti crea problemi?

P.S. Volevo chiederti una cosa... se vorrei farti vedere un'altro esercizio molto simile devo aprire un nuovo argomento o lo posso scrivere qui ?

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