esercizio endomorfismo

[Oscar19]

Ok Cooper...
Mi rincuora aver scritto cose giuste..
Quindi per i due punti b) e c) li devo trovare come ho fatto prima , cioè trovo la matrice A associata alle due basi, giusto fin qui ?!.... come soluzione allora avrei due matrici associate per b) e due per c) (in totale 4)

La mia domanda sul punto c) forse è meglio che te la rifaccio,... il mio dubbio riguarda il fatto che le due basi siano uguali.... che cosa ottengo in questo modo?sempre due matrici associate??!

Grazie sempre mi hai chiarito molti dubbi e spero di togliermi quest'altro sassolino dalla scarpa

P.S.Lo so che la soluzione della base potevo evitarla di scriverla....ma il prof.vuole che glielo dimostriamo

[cooper]

Quindi per i due punti b) e c) li devo trovare come ho fatto prima , cioè trovo la matrice A associata alle due basi, giusto fin qui ?!.... come soluzione allora avrei due matrici associate per b) e due per c) (in totale 4)

e perchè? assolutamente no. anche nel punto a) non hai trovato due matrici associate ma una sola. hai una matrice associata considerando una base per lo spazio di partenza ed una base per lo spazio di arrivo (e queste due basi possono anche coincidere, e questo risponde al dubbio sul punto c)).
il punto b) per esempio ha come base dello spazio di partenza quella canonica e come base dello spazio di arrivo quella data dal testo. quindi per scrivere la matrice associata ad f rispetto a queste due basi devi:
1. scrivere le immagini della base di partenza (qui quella canonica) tramite f
2. esprimere le immagini trovate al punto 1. rispetto alla base dello spazio di arrivo.
per esempio:
1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((0,1),(2,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio di arrivo
$ ((0,1),(2,0))=-2((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/6((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
basta ripetere il procedimento con gli altri tre vettori della base canonica ed il gioco è fatto.
analogamente il punto c)

P.S.Lo so che la soluzione della base potevo evitarla di scriverla....ma il prof.vuole che glielo dimostriamo

apposto allora!

[Oscar19]

Ciao Cooper...
Sono felice di aver finalmente (a piccoli passi) capito questo esercizio....Grazie infinite..
ne sono grato per il tuo aiuto... è stato prezioso!!
Spero di postare altri esercizi al più presto....
GRAZIE

[cooper]

di niente

[Oscar19]

Ciao Cooper
non ho resistito .... ti posto le soluzioni dei punti b) e c)...Pronto
Ho ottenuto come risultato......

B= $((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$


C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0,),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$

penso che si giusto anche per gli altri utenti (amici ) di vedere quale altra cretinata abbia scritto....!!!!
Scherzo.... credo che sia utile per me e per gli altri

P.S. spero di postare entro sta sera gli altri esercizi .... alla prossima
P.S non capisco perchè la seconda matrice sia scritta cosi......

[cooper]

Ho ottenuto come risultato......

purtroppo mi sembrano sbagliate. la b) probabilmente ti sei solo confuso: la quarta colonna ha la terza entrata pari a 3 e non la quarta.
il c) invece mi sembra proprio sbagliato: già la prima colonna dovrebbe essere uguale all'altra matrice.

P.S non capisco perchè la seconda matrice sia scritta cosi......

c'è una virgola di troppo della seconda parentesi

[Oscar19]

Ciao Cooper
e lo sapevo mi sembra bello aver capito subito!!!!
ho seguito il tuo consiglio

Punto b)

1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((0,1),(2,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare degli elementi della base dello spazio di arrivo
$ ((0,1),(2,0))=-2((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/6((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.
basta ripetere il procedimento con gli altri tre vettori della base canonica ed il gioco è fatto.

Ora ti scrivo quello che ho fatto passo passo
1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((3,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((3,0),(0,0))=3((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come prima colonna della matrice associata.

la seconda l'hai trovata tu.....

1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,2),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ (0,2),(1,0))=-1((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1/3((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come terza colonna della matrice associata.

1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,0),(0,3)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,3))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+3((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ i quattro coefficienti li scrivo come quarta colonna della matrice associata.

Punto C)

1. l'immagine di $e_1$ è $ f(e_1)=((1,0),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(0,0))=1((1,0),(0,0))+2((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono prima colonna della matrice associata.

1. l'immagine di $e_2$ è $ f(e_2)=((1,0),(1,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((1,0),(1,0))=0((1,0),(0,0))+1((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.

1. l'immagine di $e_3$ è $ f(e_3)=((0,0),(0,1)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,0),(0,1))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+1((0,0),(0,1))+0((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la terza colonna della matrice associata.

1. l'immagine di $e_4$ è $ f(e_4)=((0,6),(0,0)) $
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$ ((0,6),(0,0))=0((1,0),(0,0))+0((1,0),(1,0))+0((0,0),(0,1))+1((0,6),(0,0)) $ quei quattro coefficienti sono la quarta colonna della matrice associata.

Cosa ho sbagliato....?
b=$((3,-2,-1,0),(0,2,1,0),(0,0,0,0),(0,1/6,1/3,3))$

C=$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$

Non si prendono i coefficienti della combinazione lineare e si mettono non in colonna.....?????

[cooper]

quattro coefficienti li scrivo come quarta colonna della matrice associata

e come avevo immaginato i conti sono giusti ma se guardi la matrice che hai scritto prima ed anche quella che hai scritto adesso, hai messo il 3 come ultimo elemento della matrice mentre dovrebbe essere l'elemento $b_(34)$.

Punto C)

al riguardo ho due commenti da fare, il primo è di carattere generale e ti vuole spiegare qualcosa anche se come hai risolto l'esercizio hai proprio sbagliato qualcosa di concettuale:
1. devi stare più attento quando scrivi la matrice associata perchè anche ammettendo che come hai risolto sia corretto, ancora una volta hai sbagliato a trascrivere le colonne: dove è sparito il 2 della combinazione lineare? se il problema fosse solo questo è un peccato buttare via punti facendo i conti correttamente ma sbagliando a "copiare" la matrice
2. purtroppo hai sbagliato proprio ad impostare il problema.

1. l'immagine di $e_1$ è $f(e_1)=((1,0),(0,0))$

purtroppo questa non è l'immagine di $e_1$, È proprio $e_1$ ed in questo caso non coincidono. d'altro canto l'immagine di $e_1$ l'hai calcolata (correttamente) nel punto b). lo stesso per gli altri vettori della base: non consideri le loro immagini tramite f ma consideri proprio i vettori e scrivi la combinazione di questi. correggi questo e sei apposto.

[Oscar19]

Ciao Cooper
Per il primo punto hai proprio ragione... è stato una distrazione come al solito sbaglio per queste cose....
Per il secondo punto scusa la mia cocciutagine ma non riesco a capirti...come dice Verdone "in che senso!!??" Il pt b) è giusto come l'ho calcolato mentre nel pt c) cos'ho sbagliato???
Grazie sempre....

[cooper]

tu hai la base $B={((1,0),(0,0)),((1,0),(1,0)),((0,0),(0,1)),((0,6),(0,0))}={v_1,v_2,v_3,v_4}$
nel punto b) la base di partenza era quella canonica e cosa hai fatto? hai preso i suoi vettori (ovvero $e_1,e_2,e_3,e_4$), li hai "messi nella funzione" ed hai trovato le loro immagini. per esempio con il vettore $e_1$ l'immagine era $((3,0),(0,0))$. bene: perchè qui non fai la stessa cosa? il primo vettore della base B coincide con $e_1$ e quindi l'immagine deve essere $((3,0),(0,0))$ mentre tu hai preso come immagine proprio il vettore, senza darlo in pasto alla funzione.