esercizio applicazione lineare

[Oscar19]

ciao a tutti....
rieccomi con un nuovo esercizio
testo:
Sia data la matrice associata rispetto alle basi canoniche ad un'applicazione f:

A= $((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3))$

determinare
a) l'espressione dell'applicazione lineare f;

f:($5x+y, -3x+z, 4x-y+3z$) in $RR^3$->$RR^3$

b) base Im(f) e una base di Ker(f)

per la base Im(f):
Facendo i dovuti calcoli (ovvero eliminazione di Gauss) ottengo rg=2
dove la base Im(f) = ((5,3,4),(1,0,-1))

per la base Ker(f): (considero sempre la matrice associata ridotta per facilitare i calcoli) e ottengo il sistema omogeneo

$\{(5x + y =0),(-3y +5z =0):}$

le soluzioni sono ($x, -5x, -3x$) = x (1,-5,-3)= base di Ker(f)

c) la matrice A associata a f rispetto alle basi B=(e1+e2; e1-e3, e3) ed E=(e1,e2,e3)

A=$((1,1,0),(1,0,1),(0,-1,1))$

d)la matrice C associata a f rispetto alle basi E=(e1,e2,e3ed )B=(e1+e2; e1-e3, e3)

$((0,-1,0),(1,-1,0),(1,-1,1))$

e) gli autovalori di f
E qui casca l'asino..... .o meglio ho trovato difficoltà con il polinomio caratteristico.....di solito ci riesco forse il cervello

[Oscar19]

Scusatemi domani vi posto l'altro esercizio.....devo andare a lavorare
e sempre grazie in anticipo a chi mi risponde

[cooper]

a) l'espressione dell'applicazione lineare f;

ok

b) base Im(f) e una base di Ker(f)

ok il procedimento, non ho controllato i conti però

c) la matrice A associata a f rispetto alle basi B=(e1+e2; e1-e3, e3) ed E=(e1,e2,e3)

questa mi sembra sbagliata, come l'hai calcolata?

e) gli autovalori di f

posta quello che hai fatto, così vediamo dove ti blocchi o cosa c'è di sbagliato

[Oscar19]

Ciao Cooper
alla risposta C) ho risposto in questo
Essendo B=(e1+e2; e1-e3, e3) ho sommato tra di loro i vettori ed E=(e1,e2,e3) è la base canonica di $ RR^3 $....scusate questo punto l'ho dimenticato di scrivere
Proseguo ora col procedimento ottenendo cosi una matrice del tipo
B=$((1,1,0),(1,0,0),(0,-1,1))$

1. l'immagine di e1 è f(e1)=$((1,1,0))$
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$((1,1,0))$=$(1(1,0,0)+1(0,1,0)+0(0,-1,1))$
quei quattro coefficienti sono la prima colonna della matrice associata.

1. l'immagine di e2è f(e1)=$((1,0,-1))$
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$((1,0,-1))$=$(1(1,0,0)+0(0,1,0)-1(0,-1,1))$
quei quattro coefficienti sono la seconda colonna della matrice associata.

1. l'immagine di e3 è f(e3)=$((0,0,1))$
2. esprimo questa matrice come combinazione lineare
$((0,0,1))$=$(0(1,0,0)+1(0,1,0)+1(0,-1,1))$
quei quattro coefficienti sono la terza colonna della matrice associata.

dove sbaglio...???? i coefficienti li scrivo in colonna

$((1,1,0),(1,0,-1),(0,1,1))$

per gli autovalori io mi trovo il polinomio caratteristi , poi faccio il determinante e poi applico Ruffini....mi trovo le soluzioni che sono gli autovalori cercati giusto????

[cooper]

dove sbaglio...???? i coefficienti li scrivo in colonna

sbagli allo stesso modo dell'esercizio dell'altro post: non consideri le immagini della base ma i vettori della base. volendo per questo esercizio si potrebbe anche usare il cambio di base se sai come si usa.

per gli autovalori io mi trovo il polinomio caratteristi , poi faccio il determinante e poi applico Ruffini....mi trovo le soluzioni che sono gli autovalori cercati giusto????

mi sembra un po' confusionario. il polinomio caratteristico lo trovi DOPO aver calcolato il determinante (di cosa poi)? oltretutto non è che ruffini sia d'obbligo, puoi usare i metodi che più ti piacciono.
prova a postare la definizione di polinomio caratteristico e partiamo da lì. mi sembra proprio tu non abbia ben salde le definizioni.

[Oscar19]

Ciao Cooper
ho cercato di risolvere anche qui il solito problema
c) la matrice A associata a f rispetto alle basi B=(e1+e2; e1-e3, e3) ed E=(e1,e2,e3)

$((3,0,1),(2,1,-1),(6,0,2))$

d)la matrice C associata a f rispetto alle basi E=(e1,e2,e3ed )B=(e1+e2; e1-e3, e3)

$((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3))$

Spero di aver fatto in modo corretto

[cooper]

dimmi piuttosto come ci sei arrivato. i conti sono una cosa diversa, possono sempre essere sbagliati, l'importante è capire il concetto

[Oscar19]

Ciao Cooper
scusa il ritardo (causa febbre..... )
i conti li ho fatti così:
b) considerando la matrice associata di partenza $((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3))$ e poi la calcolo con quella di arrivo E=(e1,e2,e3) scrivendo i coefficienti che ho trovato
c) considerando la matrice associata di partenza $((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3))$ e poi la calcolo con quella di arrivo
B=(e1+e2; e1-e3, e3) scrivendo i coefficienti che ho trovato

[cooper]

poi la calcolo con quella di arrivo E=(e1,e2,e3) scrivendo i coefficienti che ho trovato

questa frase non ha senso (o quantomeno non so io cosa voglia dire "la calcolo")
fai vedere qualche passaggio

[Oscar19]

Ciao Cooper
cerco di rispondere a questo tuo quesito....
"dimmi piuttosto come ci sei arrivato. i conti sono una cosa diversa, possono sempre essere sbagliati, l'importante è capire il concetto"

b) considerando la matrice c associata a f rispetto alle basi B=(e1+e2; e1-e3, e3) ed E=(e1,e2,e3)

$ ((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3)) $ , faccio

$ f(e1)=(5,3,4)=5(1,0,0)+3(0,1,0)+4(0,0,1)=(5,3,4)$

$ f(e1)=(1,0,-1)=1(1,0,0)+0(0,1,0)-1(0,0,1)=(0,1,0)$

$ f(e1)=(0,1,3)=1(1,0,0)+1(0,1,0)+3(0,0,1)=(0,1,3)$

la matrice è $ ((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3)) $


c) considerando la matrice c associata a f rispetto alle basi E=(e1,e2,e3) ed B=(e1+e2; e1-e3, e3)

$ ((5,1,0),(3,0,1),(4,-1,3)) $ , faccio

$ f(e1)=(5,3,4)=3(1,1,0)+2(1,0,1)+6(0,0,1)=(3,2,6)$

$ f(e2)=(1,0,-1)=0(1,1,0)+1(1,0,1)+0(0,0,1)=(0,1,0)$

$ f(e3)=(0,1,3)=1(1,1,0)-1(1,0,-1)+2(0,0,1)=(1,-1,2)$

la matrice è $ ((3,0,1),(2,1,-1),(6,0,2)) $

dove sbaglio.....