applicazioni lineari con variabile k

[Oscar19]

Ciao a tutti
rieccomi con due nuovi esercizi

testo 1
sia T la $RR^3$ $->$ $RR^4$ definita da T $((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$=$((2k x_1-x_3 ),( x_2+kx_3) , (x_1+x_2-x_3) ,( x_1-x_2)) $
Trovare le dim del nucleo e dell' immagine al variare del parametro reale k
stabilire per quali valori di k il vettore v=(3,3,10) appartiene all'immagine di T

soluzione
la matrice associata è (rispetto alla base canonica)
A= $((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$
per rispondere alla prima domanda calcolo il rango di A
facendo l'eliminazione di Gauss ottengo (considero la matrice completa per accelerare i conti)

A= $((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$ $->$ $((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7))$ mi fermo qui con la riduzione

so che2k+1 e 2k-1 non possono essere contemporaneamente nulli quindi il rango di A è 3
di conseguenza la $dim(Im(T))$=rg(A)=3 $dim(Ker(T))$=n-$(dim(Im(T))$=3-3=0 per ogni k appartenente ai reali

Per la seconda domanda calcolo il determinante della matrice ridotta(considero la matrice completa per accelerare i conti)

det A= $((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7))$=2($4k^2 +2k +12 $)

il det si annulla per k=-3 e K=4

devo stabilire quando il sistema$\{(x - y = 3),(2y - z = 3),((2k+1)z =10):}$ cioè per k=-3 e K=4
e' giusto..........?

Magma l'ho modificato spero che sia giusto scritto così.....!!!!
ma è corretto?????

[Magma]

Modifica il post scrivendo tutte le formule in modo più ordinato e dentro i dollaroni:

Codice:

 $ $

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

$T: RR^3 -> RR^4 $ definita da

$T ( (x_1),(x_2),(x_3),(x_4) )=( (2k x_1-x_3 ), (x_2+kx_3 ),( x_1+x_2-x_3 ),( x_1-x_2 ))$

Trovare le $dim(Ker(T))$ e $dim(Im(T))$ al variare del parametro $kin RR$. Stabilire per quali valori di $k$ il vettore $v=(3,3,10)in Im(T)$.

esempio:

Codice:

$T: RR^3 -> RR^4 $ definita da

$T ( (x_1),(x_2),(x_3),(x_4) )=( (2k x_1-x_3 ), (x_2+kx_3 ),( x_1+x_2-x_3 ),( x_1-x_2 ))$[/center]

Trovare le $dim(Ker(T))$ e $dim(Im(T))$ al variare del parametro $kin RR$. Stabilire per quali valori di $k$ il vettore $v=(3,3,10)in Im(T)$.

Inoltre è consigliato aprire un post per ogni esercizio, al fine di mantenere un po' di ordine.

P.S. leggi lo spoiler!

[Oscar19]

Ciao Magma...
Scusa se ho scritto le formule in questo modo.... (andavo di fretta, ma con questo non mi voglio giustificare) il testo dell'esercizio era scritto proprio così...starò più attento!
Inoltre cercherò di modificare il post...volevo solo sapere se ciò che ho scritto era corretto....così da riscriverlo in modo giusto...
Chiedo scusa se ho postato due esercizi....è stato solo per una questione di essere lo stesso argomento...nient'altro
Grazie per le risposte

[Magma]

ho modificato spero che sia giusto scritto così

Potevi fare uno sforzo in più

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Perché scrivere

Codice:

A=$ matrice $

invece di

Codice:

 $A=matrice$

?

$T: qquad RR^3-> RR^4$ definita da

$T((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((2k x_1-x_3 ),( x_2+kx_3) , (x_1+x_2-x_3) ,( x_1-x_2)) $

Trovare le dim del nucleo e dell' immagine al variare del parametro $kinRR$.
Stabilire per quali valori di $k$ il vettore $v=(3,3,1,0)$ appartiene all'immagine di $T$.

La matrice associata, rispetto alla base canonica, è

$A=((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$

per rispondere alla prima domanda calcolo il rango di $A$ facendo l'eliminazione di Gauss [e] ottengo:

$A'=((1,-1,0),(0,2,-1),(0,0,2k+1),(0,0,2k-1))$

mi fermo qui con la riduzione. So che $2k+1$ e $2k-1$ non possono essere contemporaneamente nulli quindi il

$r(A)=3 hArr dim(Im(T))=r(A)=3$

di conseguenza

$dim(Ker(T))=dim(RR^3)-dim(Im(T))=3-3=0, qquad AA k in RR$

P.S. nel confronto delle dimensioni hai messo "$n$", ma non sapendo cosa fosse ho corretto con "$dim(RR^3)$".

Per la seconda domanda calcolo il determinante della matrice ridotta(considero la matrice completa per accelerare i conti)

$det(A)= ((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7)) =2(4k^2 +2k +12)$

[ottengo]

$det(A)=0 hArr k=-3 vv k=4$

devo stabilire quando il sistema

$ \{(x - y = 3),(2y - z = 3),((2k+1)z =10):} $

cioè per $k=-3$ e $k=4$
è giusto?

Prima avevi fatto la riduzione per righe dalla matrice completa $A|B$ per accelerare i conti e non la sfrutti?
Considerando le matrici ridotte per riga

$A'=((1,-1,0),(0,2,-1),(0,0,2k+1),(0,0,2k-1)), qquad (A|B)'=((1,-1,0,0),(0,2,-1,1),(0,0,2k+1,5),(0,0,2k-1,-2k+7))$

e ricordando il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, avrai che

$v in Im(T) hArr r(A')=r((A|B)'), qquad v in RR^4$

[Magma]

$(3, 3, 10)$ sta in $RR^3$, non in $RR^4$, come fa a stare nell'immagine? E cosa hai messo nella matrice completa per ridurla?

Giusto Mi ero dimenticato di farlo notare

Testo nascosto, fai click qui per vederlo

Probabilmente intende $T(v)$

[Magma]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Chiedersi se l'immagine tramite $T$ di un vettore del dominio stia nell'immagine di $T$ mi sembra del tutto inutile

In effetti

[Magma]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

Comunque, quell'errore […] vanifica tutti i calcoli.

Il filo logico rimane invariato!

[Oscar19]

Ciao magma e arnett
il testo che avete visto scritto è quello proposto dal professore durante un esame . Io semplicemente l'ho copiato parola per parola . Mi dispiace ancora se ho sbagliato nello scrivere le formule, ciò deriva dal fatto che non sono molto pratico con questo tipo di scrittura....
sbaglio con i dollari...tutto qui.....!!!
per favore non siete così fiscali... la buona volontà io c'è la metto.
Per questo motivo mi sono iscritto al forum per capire dove sbaglio e non per aver detto di fare uno sforzo in più....!!!
Con ciò non voglio sembrare permaloso ma neanche passare per uno che non ci prova....io volevo solo sapere dove sbaglio e aver chiarimenti sull'errore... tutto qui
Non cerco qualcuno che mi risolva l'esercizio.....perché poi all'esame sono solo.....io e il prof.ssore
Grazie in anticipo per le risposte

[Magma]

Il vettore è $v=((3),(3),(1),(0))$?

[Oscar19]

Ciao Magma e arnett....
Grazie per la vostra risposta
Avete ragione ho scritto male la matrice associata...per distrazione
Ho guardato il testo del compito e il vettore è scritto in questo modo.....
Ora capisco dov'è l'errore....il prof.ssore l'ha scritto in modo errato
Io e miei colleghi pensavamo che fosse 10 l'ultimo numero...invece era 1 e 0 solo che non aveva messo la virgola....
Quando ho fatto il compito pensavo che fosse un trabocchetto e quindi gli ho risposto che non era la sua immagine....Giustamente lui l'ha considerato un errore e nell'email mi ha scritto che si poteva risolvere....allora ho provato a farlo....Invece e stato solo un malinteso...
Per risolverlo considero il sistema con 4 equazioni ( considerando tutta la matrice ridotta) giusto...????
Grazie, sempre gentili

P.S. potete dare un'occhiata all'altro post...