sistema lineare

[Oscar19]

Ciao a tutti
mi dite se questo esercizio è corretto

Si risolva il sistema lineare, al variare del parametro h
$\{(x + y + z = 1),(x + z+hw = 6),(y-w = -2 ),(x+hy+4z+5w=0):}$
Soluzione
sistema m=4 equazioni ed n=4 incognite con matrice incompleta A=$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5))$
matrice completa B=$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5),(1,6,-2,0))$

riduco con gauss la matrice incompleta e ho

$((1,1,1,0),(1,0,1,h),(0,1,0,-1),(1,h,4,5))$ $->$
$((1,1,1,0),(0,1,1,-h),(0,0,3,-h^2+h-5),(0,0,0,1-h))$

det=3h-3 cioè h=1
quindi avrò
rgA=4=rgB=n per h$!=$1 il sistema e determinato e uso cramer.....però mi nasce il problema dei conti, mi trovo ogni det di x,y,z,w con gauss... posso usare i minori di ordine 3 per essere più veloce, ho sbaglio...?

rgA=3=rgB<n per h=1 il sistema è indeterminato $oo^1$ soluzioni con i conti fatti mi viene t(2/3,1,-5/3,1)

E' corretto............??????????????????

[Magma]

riduco con gauss la matrice incompleta e ho

$A=((1,1,1,0),(0,1,1,-h),(0,0,3,-h^2+h-5),(0,0,0,1-h))$

Ammesso che la ridotta per righe sia giusta, si può vedere, essendo la matrice ridotta a scalini, che

${ ( r(A)=4, if 1-hne0 ),( r(A)=3, if 1-h=0):}$

$r(A)=3=r(B)<n$ per $h=1$ il sistema è indeterminato $ oo^1 $ soluzioni con i conti fatti mi viene

$t((2/3),(1),(-5/3),(1))$

È corretto?

Immagino sia $tin RR$, giusto? Qual è la ridotta della matrice completa?

[Oscar19]

Ciao Magma

se non ho commesso errori la ridotta della matrice completa è

B=$((1,1,1,0,1),(0,1,0,-h,-5),(0,0,-3,h^2+h-5,5h-4),(0,0,0,1-h,-3))$ che diventa sostituendo h=1

B=$((1,1,1,0,1),(0,1,0,-1,-5),(0,0,-3,-3,1),(0,0,0,0,-3))$

Scusa Magma ma mi son reso conto che ho sbagliato!!!!
Il rg(B)>rg(A) cioè il rg(B)= 4 (e non 3 come avevo considerato ieri, non l' ho proprio visto il -3 dell'ultima riga) allora il sistema è impossibile, non ammette soluzioni....Giusto????? spero di non aver detto cretinate....

Mi togli un dubbio....???
quando ho la matrice 4x4...posso svolgere i minori di ordine 3x3 per trovarmi i determinanti di X,Y,Z,W in Cramer? ho devo fare sempre la riduzione di Gauss??
grazie per la risposta

[Magma]

se non ho commesso errori la ridotta della matrice completa [per $h=1$] è

$A|B=((1,1,1,0,1),(0,1,0,-1,-5),(0,0,-3,-3,1),(0,0,0,0,-3))$

mi son reso conto che ho sbagliato: $r(A|B)>r(A)$ […] allora il sistema è impossibile, [ovvero] non ammette soluzioni. Giusto?

quando ho la matrice $4x4$ ...posso svolgere i minori di ordine 3x3 per trovarmi i determinanti di X,Y,Z,W in Cramer? ho devo fare sempre la riduzione di Gauss??

La riduzione per righe, in genere, è più semplice e richiede meno calcoli.

[Oscar19]

Ciao Magma
Allora ho scritto giusto... Meno male.
Ti ringrazio per il tuo aiuto e seguirò il tuo consiglio utilizzerò la riduzione a gradini