Algebra di LIE - relazione fra Gln e Sln

[knecht]

Buonasera, dovrei dimostrare che se, come di consueto, Gln è il gruppo delle matrici quadrate di dimensione n e Sln è quello delle analoghe matrici con traccia 0, [Gln, Gln] = Sln, dove [] è l'operatore di LIE: tale che per ogni A e B in Gln [A B]= AB-BA.

L'implicazione che [Gln, Gln] è incluso in Sln è semplice e mi è chiara. Quello che non riesco a dimostrare è il viceversa cioè che Sln include [Gln, Gln] ovvero che ogni matrice a traccia 0 può essere scritta come bracket di due matrici qualsiasi. O forse devo cercare un'altra strada per provare l'uguaglianza? Grazie anticipate per qualsiasi aiuto

[j18eos]

Premesso che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}\) è un'algebra (reale di Lie) e non un gruppo;

hai per costruzione che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=[\mathfrak{gl}_n\mathbb{R},\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}]\) è un ideale, quindi puoi considerare l'algebra quoziente: con un semplice calcolo ottieni che questa è un'algebra commutativa.

Potresti dimostrare che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}\) è il massimo ideale di \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n\mathbb{R}\) con questa proprietà e da ciò evincere che \(\displaystyle\mathfrak{gl}_n^{\prime}\mathbb{R}=\mathfrak{sl}_n\mathbb{R}\).

Spero che sia tutto chiaro...

[knecht]

Grazie e scusa l'errore iniziale.
Ma mi sembrava di aver capito che se gln è un algebra di Lie è sempre vero che gln=[gln,gln]. Non è giusto? Mi sfugge qualche cosa?

[dissonance]

Secondo me è più semplice considerare una base esplicita di \(\mathfrak{sl}(n)\) e costruire per ciascun elemento \(E_{ij}\) di tale base due matrici \(A, B\) tali che \([A, B]=E_{ij}\). Per esempio,
\[
\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \Big[ \begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 &0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \Big],\]
quindi \(\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \) appartiene a \([\mathfrak{gl}(2), \mathfrak{gl}(2)]\).

Quanto alla seconda domanda, mi permetto di rispondere io: dalla definizione di algebra di Lie si ha solo che
\[
[\mathfrak{gl}(n), \mathfrak{gl}(n)]\subset \mathfrak{gl}(n), \]
nessuno garantisce che ci sia uguaglianza. Ad esempio, qualsiasi algebra commutativa ha il membro sinistro ridotto a zero, in questa inclusione.

[j18eos]

Attenzione che ho indicata la sottoalgebra di Lie derivata con un apice...

[knecht]

si, si ho capito.
Poi ho anche verificato che un'algebra di lie L=[L,L] sse non risolubile, quindi non in generale.

Grazie ancora a tutti e buona domenica

[dissonance]

Prego, ma alla fine come hai risolto? Sono curioso. (Per favore usa queste istruzioni per scrivere le formule (clic), grazie).

[dan95]

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Corso di istituzioni di Algebra superiore?

[knecht]

Prego, ma alla fine come hai risolto? Sono curioso. (Per favore usa queste istruzioni per scrivere le formule (clic), grazie).

Ho seguito il tuo suggerimento, cioè ho calcolato il bracket sugli elementi della base. Grazie