Omologia e omologia ridotta

[Bremen000]

Buonasera, sto studiando in maniera autonoma un po' di topologia algebrica. Confesso che le mie conoscenze in fatto di algebra sono abbastanza scarse. In ogni caso quando non capisco qualcosa me la vado a guardare senza problemi. Questa premessa per non farmi insultare se la domanda che porrò sarà troppo semplice.
Il libro a cui mi riferisco è "A. Hatcher - Algebraic Topology" e il mio dubbio è a pagina 110.
Spero che la notazione sia standard e che i simboli siano chiari, altrimenti chiedete!
Consideriamo il complesso di catene

\[ \dots \longrightarrow C_{n+1}(X) \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_n(X) \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} \dots \overset{\partial_{2}}{\longrightarrow} C_1(X) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_0(X) \overset{\partial_0}{\longrightarrow} 0 \]

dove \( C_n(X) \) è il gruppo abeliano libero generato dagli $n$-simplessi singolari \( \sigma : \Delta^n \to X \) e \( \partial_n \) sono le mappe di bordo (che spero siano definite da tutti nello stesso modo).

I gruppi di omologia "normali" sono quelli definiti come \( H_n(X) = \text{Ker}(\partial_{n}) / \text{Im}(\partial_{n+1}) \) per \( n=0,1, \dots \) (definizione che è ben posta perché \( \partial \partial =0 \) )

Se invece si considera, nelle stesse notazioni, il complesso aumentato di catene

\[ \dots \longrightarrow C_{n+1}(X) \overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow} C_n(X) \overset{\partial_{n}}{\longrightarrow} \dots \overset{\partial_{2}}{\longrightarrow} C_1(X) \overset{\partial_{1}}{\longrightarrow} C_0(X) \overset{\epsilon}{\longrightarrow} \mathbb{Z} \longrightarrow 0 \]

dove \( \epsilon (\sum_i n_i \sigma_i ) = \sum_i n_i \), allora si definiscono i gruppi di omologia ridotti \( \tilde{H_n}(X) = \text{Ker}(\partial_{n}) / \text{Im}(\partial_{n+1}) \) per \( n=1, 2, \dots \) e \( H_0(X) = \text{Ker}(\epsilon) / \text{Im}(\partial_{1}) \).

Il libro (ed è la cosa che non mi è chiara) asserisce che \( H_0(X) \simeq \tilde{H_0}(X) \oplus \mathbb{Z} \).

La giustificazione che ne dà è la seguente:

1. La definizione è ben posta perché \( \epsilon \) è un omomorfismo, il suo nucleo è un sottogruppo di \( C_0(X) \) e la composizione \( \epsilon \partial_1 =0 \) da cui \( \text{Im}(\partial_1) \subset \text{Ker} (\epsilon) \) con \( \text{Im}(\partial_1) \) che è un sottogruppo normale di \( \text{Ker} (\epsilon) \).

2. \( \epsilon \) passa al quoziente e definisce una mappa \( \overline{\epsilon} : H_0(X) \to \mathbb{Z} \) il cui nucleo è \( \tilde{H_0} (X) \).

3. Allora \( H_0(X) \simeq\tilde{H_0}(X) \oplus \mathbb{Z} \)

1. e 2. mi sono chiari ma 3. no!

[killing_buddha]

La successione esatta corta
\[
0\to \ker\bar\varepsilon \to H_0(X)\to \mathbb Z\to 0
\] spezza, perché $ZZ$ è un modulo proiettivo.

[dan95]

K_B

Forse intendi $\text{ker}(\bar(\epsilon))$?

[killing_buddha]

Sì sì, ho corretto.

[Bremen000]

Dunque ci sono sul fatto che quella successione corta è esatta (da \( \ker (\bar{\epsilon}) \) a \( H_0(X) \) la mappa è l'inclusione e da \( H_0(X) \) a \( \mathbb{Z} \) la mappa è \(\bar{\epsilon} \) vero?)

Mi sono cercato un po' cosa è un modulo proiettivo, non c'ho capito molto a essere onesto. Penso di aver capito (ma dimmi/ditemi se sbaglio) che se mostro che esiste una mappa \( t: \mathbb{Z} \to H_0(X) \) tale che \( \bar{\epsilon}t = id_{\mathbb{Z}} \) allora ho finito perché questo è equivalente (si dimostra e ho trovato la dimostrazione) al fatto che \( H_0(X) \simeq \tilde{H_0}(X) \oplus \mathbb{Z} \).

Se questo fosse corretto, allora come si dimostra l'esistenza di tale mappa?

Grazie mille per il vostro aiuto!

[killing_buddha]

$P$ è un modulo proiettivo se e solo se il funtore \(\hom(P,-)\) è esatto, se e solo se ogni successione esatta corta che lo ha come terzo termine spezza. In \(\text{Mod}_R\) l'anello $R$ è sempre proiettivo, perché \(\hom(R,-)\) è l'identità, e più esatti dell'identità che funtori vuoi trovare?

[Bremen000]

Maronna. Per me sta roba è arabo purtroppo. Quello che ho scritto io è sbagliato? Se mi dici che è necessario che impari queste cose per capire quello che sto facendo, allora rimando a tempi più maturi!

Edit: ho modificato quello che ho scritto nel precedente post perché c'era un errore.

Edit 2: e se a \( \bar{\epsilon} \) sostituisco quella indotta dall'unica mappa \( X \to \{ p \} \) e prendo come inversa quella indotta da una qualsiasi mappa \( \{ p\} \to X \) ?

[killing_buddha]

L'intuizione geometrica dietro questa costruzione è che l'omologia ridotta di uno spazio coincide con l'omologia relativa della coppia $(X,x_0)$ (ogni spazio puntato è chiaramente una coppia!). Ora, se consideri la LES in omologia indotta dalla coppia $(X,x_0)$, ti viene fuori una successione esatta lunga
\[
\cdots \to H_{n+1}(X,x_0) \to H_n(\{x_0\}) \overset{x_{0,*}}\to H_n(X) \to H_n(X,x_0) \to H_{n-1}(X,x_0) \to\cdots
\] Ora, in ciascuna di queste mappe l'inclusione \(x_0 : 1 \to X\) fa da sezione della mappa terminale, quindi la successione spezza... vai avanti tu.

[dan95]

La definizione che serve a lui di proiettivo secondo me è questa che ho trovato in vecchi appunti di Algebra 3

Sia $P$ un modulo, per ogni applicazione $g : P \to N$ e $f : M \to N$ suriettiva esiste $h : P \to M$ tale che $f @ h=g$. Ora, siccome $\mathbb{Z}$ è proiettivo prendiamo $f=\bar(\epsilon)$ e $g=\text{Id}_{\mathbb{Z}}$ esiste $t$ tale che $\bar(\epsilon) @ t=\text{Id}_{\mathbb{Z}}$ in particolare l'applicazione

$H_{0}(X) \to \mathbb{Z} o+\text{ker} \bar(\epsilon)$

Che manda $[\sigma]$ in $(\bar(\epsilon)([\sigma]), [\sigma]-t\bar(\epsilon)([\sigma]))$ è un isomorfismo.

[Bremen000]

@dan, ok questo l'ho capito. La domanda probabilmente sciocca è: perché \( \mathbb{Z} \) è proiettivo?