Supporto compatto come unione di disgiunti

[mattbun]

Ciao a tutti,
studiando per il corso di metodi matematici per l'ingegneria ho imparato che un insieme compatto è definito come chiuso limitato. Questa assunzione è alla base della definizione delle funzioni test, usate nella teoria delle distribuzioni.
Ma parlando di una funzione generica, possiamo dire che tale funzione ha supporto compatto anche se il suo dominio è l'unione di n compatti tra loro disgiunti?
In altre parole, una funzione si può definire a supporto compatto anche se il suo dominio ha dei buchi?

Grazie

[Bremen000]

Praticamente la domanda che ti stai facendo è se l'unione di compatti disgiunti sia un compatto. Ora tu sai che (in \( \mathbb{R}^n \) ) un insieme è compatto se e solo se è chiuso e limitato. La tua domanda si traduce quindi in

"E' vero che l'unione di $n$ insieme chiusi e limitati disgiunti è ancora un insieme chiuso e limitato?"

La risposta è sì, prova a dimostrarlo. L'ipotesi di disgiunzione è necessaria?

[mattbun]

La risposta è sì, prova a dimostrarlo. L'ipotesi di disgiunzione è necessaria?

No l'ioptesi di disgiunzione non è rilevante. Grazie mille!

Ne ero abbastanza sicuro perchè me l'ero dimostrato partendo dalle definizioni separate di insieme limitato e insieme chiuso ed entrambe ammettono l'unione digiunta di più insiemi. Solo che in tutti gli esempi di compatto trovati sui libri e in rete si parla sempre e solo di insiemi non disgiunti.