Vettori e piano

[Nicole29]

Se ho due vettori come trovo l'equazione del piano che li contiene? Senza usare le matrici

[Magma]

Qual è l'equazione di un generico piano $pi subset RR^3$?

[Nicole29]

ax+by+cz+d=0

[Magma]

Quindi, l'equazione generica del piano è

$pi: qquad ax+by+cz+d=0$

la cui giacitura è

$pi_o :qquad ax+by+cz=0$

per determinarla, occorre sapere la direzione ortogonale al piano; direzione individuata dal vettore

$v:=((a),(b),(c))$

Sapresti individuare $v$ avendo a disposizioni due vettori?

[Nicole29]

Se ho il piano ad+bx+cz=0 e due vettori del tipo per esempio (0,2,3) e (1,3,1) come faccio a scrivere l'equazione del piano che contiene questi due vettori?

[Magma]

Ho modificato un po' il mio precedente post. Un altro suggerimento: dati $(0,2,3), (1,3,1)$, sapresti individuare un vettore $v$ che sia ortogonale ad entrambi?

[Nicole29]

Dovrei per caso mettere a sistema 2y+3z=0 e x+3y+z=0? Per trovare a,b,c?

[Magma]

Se prendi due vettori $u,t$ e ne fai il prodotto vettoriale

$u xx t=s$

ottieni il vettore $s$ che è ortogonale ad entrambi i vettori di partenza (¹).

Infine, inserendo i valori ottenuti nell'equazione di $pi$, si determina il valore di $d$.

---

Note

1. ${u,t}^(_|_)={s}$ ↑

[Nicole29]

Puoi farmi un esempio per favore

[Magma]

Determinare il piano $pi$ contenente i vettori $(0,2,3), (1,3,1)$.

Si determina la direzione ortogonale al piano contente i due vettori

$v=(0,2,3) xx (1,3,1)=det((i,j,k),(0,2,3),(1,3,1))=((-7),(3),(-2))$

ottenendo

$pi_o: qquad -7x+3y-2z=0$

questa è la giacitura del piano che contiene i vettori dati.

Inoltre, se si richiede anche il passaggio per un punto, si ha

$d=7x-3y+2z$

dove $(x,y,z)$ sono le coordinate di un punto $P in pi$. Ad esempio per $P(0,0,0)$, si ha proprio $d=0$.