Definizione di poligono come insieme

[Oiram92]

Ciao a tutti, sto scrivendo la tesi (ingegneria) ed avrei la necessità di definire in modo rigoroso l'insieme dei punti di un poligono \(\displaystyle A' \) che inscrive un poligono \(\displaystyle A \) noto mantenendosi a distanza \(\displaystyle d \) dai suoi confini. Geometricamente intendo quanto raffigurato in figura

Il poligono \(\displaystyle A \) è quello in nero (ed è noto) mentre in blu è raffigurato il poligono \(\displaystyle A' \) che mi servirebbe descrivere. Avevo pensato di definirlo come

\(\displaystyle A' = \{ P' \in \mathbb{R}^2 \;|\; d(O,P') = d(O,P) + d(P,P') \;\; \forall P \in \partial A \} \)

ma ho la netta sensazione che una definizione di questo tipo farebbe cavare gli occhi a molti matematici..per favore qualcuno può darmi una mano?

[j18eos]

Quella definizione è assolutamente corretta, in quanto ottieni l'insieme \(\displaystyle\mathbb{R}^2\setminus\{\text{i punti interni al dato poligono}\}\)...

Per il tuo scopo, al posto di \(\displaystyle d(P,P^{\prime})\) dovresti mettere un numero reale positivo \(\displaystyle r\) fissato, così da "espandere" il poligono in esame.

Do per scontato che tu abbia dato una definizione consistente di poligono!

[Oiram92]

Per il tuo scopo, al posto di \(\displaystyle d(P,P^{\prime})\) dovresti mettere un numero reale positivo \(\displaystyle r\) fissato, così da "espandere" il poligono in esame.

Grazie mille per la risposta, non pensavo di essere riuscito a far centro al primo tentativo quindi la definizione completa dovrebbe essere

\(\displaystyle A' = \{ P' \in \mathbb{R}^2 \;|\; d(O,P') = d(O,P) + r \;\;,\;\;\forall P \in \partial A ,\; r \in \mathbb{R}^+ \} \)

Do per scontato che tu abbia dato una definizione consistente di poligono!

In realtà, nel contesto della tesi, il poligono \(\displaystyle A \) è un'area territoriale planare ricavata per ispezione visiva direttamente sul luogo. Praticamente prendendo il metro e misurando esce fuori la geometria da analizzare. Però effettivamente, per una trattazione scientifica del problema, sarebbe meglio dare una definizione rigorosa anche del poligono \(\displaystyle A \). In tal caso come converebbe procedere? Stavolta i punti non sono equidistanti da un riferimento (il centroide del poligono) quindi suppongo che \(\displaystyle r \) sia a sua volta una funzione.

[j18eos]

Se tu inglobi la distanza di espansione \(\displaystyle r\) nell'insieme che vuoi definite, ottieni di nuovo il piano meno il poligono (mi scoccio di scrivere la stessa formula);

invece, io t'ho suggerito di fissare \(\displaystyle r\) e considerare l'insieme che avevi scritto con quel piccolo suggerimento.

Vabbè: ho cambiato idea e scrivo le formule...
\[
\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A,\,r\in\mathbb{R}_{>0}\}=\mathbb{R}^2\setminus\{\text{i punti interni al dato poligono}\},\\
r\in\mathbb{R}_{>0},\,A^{\prime}=\{P^{\prime}\in\mathbb{R}^2\mid d(O,P^{\prime})=d(O,P)+r,\,\forall P \in\partial A\}.
\]

[dissonance]

@Mario: chiamare con la stessa lettera \(d\) sia la funzione distanza sia il raggio di espansione del poligono è una idea molto bislacca.

Secondo me fai prima a considerare \(A\) come il poligono pieno. In questo modo, il tuo insieme espanso \(A_d\) è semplicemente
\[
A_d:=\{ \mathbf x \in \mathbb R^2\ |\ \mathrm{dist}(\mathbf x, A)\le d \}
\]
dove \(\mathrm{dist(\mathbf y, A)}\) indica la distanza del punto \(\mathbf y\) dall'insieme \(A\), ovvero, per definizione,
\[
\mathrm{dist(\mathbf y, A)}:=\min\{ |\mathbf y-\mathbf a|\ :\ \mathbf a\in A\}.\]