Proprietà elementari del determinante.

[galles90]

Buonasera,

Ho la seguente proprietà elementare del determinante di una matrice,
Se la matrice $B$ viene ottenta dalla matrice $A$ permutando due linee parallele risulta $|B|=-|A|$.

dimostrazione

Supponiamo che la matrice $B$ è ottenuta da $A$ permutando le righe i-esima e j-esima, cioè $b_i=a_j$ e $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per ogni $h ne i,j$.
Supponiamo che $i<j$ e denoto con $t$ la trasposizione $(ij)$ cioè la permutazione

\(\displaystyle t=\binom{1***i***h***j***n}{1***j***h***i***n}. \)

"la parte che segue, non è mi molta chiara"
Ovviamente $t$ presenta inversione soltanto in ogni coppia del tipo $(i,h)$ con $i<h le j$, il cui numero $j-i$, e in ogni coppia del tipo $(k,j)$ con $i<k<j$, il cui numero è $j-i-1$ ?? perchè presenta più di un inversione, se si ha la permutazione solo nella coppia $i,j$ e il restante resta invariato ??

Grazie

[killing_buddha]

Il punto è che le operazioni che scambiano due righe di una matrice sono lineari, e in effetti sono esattamente delle matrici quadrate che agiscono su quella le cui righe vuoi scambiare. Quello che hai definito quando "realizzi" una permutazione come una applicazione lineare mandando $\sigma$ nella sua matrice di permutazione è un omomorfismo di gruppi da $Sym(n) $ al gruppo delle matrici $n\times n$. Questo omomorfismo è tale che \(\det S_\sigma = \text{sgn}(\sigma)\) (ed è in particolare 1 o -1). Unisci questo fatto al teorema di Binet e concludi.

[galles90]

Ciao,

scusami forse non mi sono escpresso bene, la parte che non mi torna è sul numero di inversioni che ha $t$, cioè se prendo la permutazione

\( \displaystyle t=\binom{1***i***h***j***n}{1***j***h***i***n}. \)

"quello che vedo" presenta "una" inversione nella coppia $(i,j)$

quindi non mi torna quando dice

Ovviamente $ t $ presenta inversione soltanto in ogni coppia del tipo $ (i,h) $ con $ i<h le j$, il cui numero $ j-i $, e in ogni coppia del tipo $ (k,j) $ con $ i, il cui numero è $ j-i-1 $

Grazie

[killing_buddha]

Mi sembra più facile decrittare una stele egizia che capire cosa vuol dire quella frase. Come ho detto, il punto è che i gruppi simmetrici si rappresentano nel gruppo lineare, prova a vedere se così ti torna tutto nonostante l'astrusità di quella spiegazione.

[galles90]

Mi sembra più facile decrittare una stele egizia che capire cosa vuol dire quella frase..

Nicola Melone

[dissonance]

@galles: tu e KB non riuscite a instaurare un dialogo perché non hai scritto la definizione di determinante. Il fatto che l'autore sia Melone invece di Anguria (pardón, non ho proprio resistito ) non è rilevante.

Scrivi la definizione di determinante per favore.

[galles90]

@galles: tu e KB non riuscite a instaurare un dialogo perché non hai scritto la definizione di determinante. Il fatto che l'autore sia Melone invece di Anguria (pardón, non ho proprio resistito ) non è rilevante.

Scrivi la definizione di determinante per favore.

Ahahaha grande

Comunque eccola

Def. Si definisce determinante di una matrice quadrata $A$ d'ordine $n$ ad elementi nell'anello commutativo unitario $K$ e si denota con $det(A)$ l'elemento di $K$ definito ponendo:

$det(A)=sum_(p in S_n)s(p)a_(1p(1))...a_(np(n))$

per il calcolo del determinante , usando la definizione si procede nel seguente modo

1) Si determinano le $n!$ permutazioni dell'insieme $I_n$
2) Per ogni permutazione $p in S_n$ si determina il segno $s(p)$ <come detto può essere $1, -1$ < della relativa permutazione $p$ e si calcola il prodotto $a_p=s(p)a_(1p(1))...a_(np(n))$.
3) Infine si sommano tuttu gli scalari $a_p$

in linea di massima , la parte che non mi è chiara serve per determinare il segno della permutazione.

Vi dico quello che ho intuito, così arriviamo subito al nocciolo dell'errore.

Il melone ottiene la matrice $ B$ permutando la righa i-esima con la l-esima di $A$ ovvero $b_i=a_j$ $b_j=a_i$ e $b_h=a_h$ per il restante. Suppone che la posizione di tale righa abbia questa relazione $i<j$ e considera con $t$ la trasposizione $(ij)$, ovvero la permutazione

\(\displaystyle t=\binom{1---i---h---j---n}{1---j---h---i---n} \)

il significato di $t$ è quello di permutare le righe sopra dette, e lasciare invariate le altre.

[dissonance]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

se riusciamo a capirlo per festeggiare andiamo al mercato a comprare la frutta

[galles90]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

:-D se riusciamo a capirlo per festeggiare andiamo al mercato a comprare la frutta

ma quello che ho riportato dal libro, oppure il mio dubbio ?

Ciao

[Cantor99]

Io ho studiato dal buon Melone

In pratica, scambiando $i$ con $j$, ottieni inversioni :
1) nelle coppie $(h,i)$ con $i<h≤j$, le quali sono
$(i+1,i),(i+2,i),...,(j-1,i),(j,i)$
perchè $t(i)=j>t(i+1)=i+1,t(i+2)=i+2,...,t(j-1)=j-1,t(j)=i$.
Contandole, sono $j-i$.

2) nelle coppie $(k,j)$ con $i<k<j$, le quali sono
$(i+1,j),(i+2,j),...,(j-1,j)$
perchè $i=t(j)<t(i+1)=i+1,t(i+2)=i+2,...,t(j-1)=j-1$.
Contandole sono $j-i-1$.

Insomma, la cosa a cui fare attenzione è non ripetere l'inversione $(i,j)$