Verifica se è un sottospazio (polinomi)

[ridley]

Ciao, ho provato a fare una semplice verifica di sottospazio vettoriale ma non so se il mio ragionamento sia giusto.
Dato lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali di grado $ <=2 $ il cui generico elemento è indicato come $ p(x) $ determinare se i polinomi che soddisfano la seguente condizione sono un sottospazio vettoriale:

Condizione: $ p(x) + p(-x) = 0 $

1) Esistenza dell'elemento neutro: Il sottoinsieme ammette l' elemento neutro 0 (polinomio nullo) poiché $ p(0) $ con termine noto 0 soddisfa la condizione.

2) Chiuso rispetto al prodotto per scalare: con $ lambda in R $ si ha che $ lambda*p(x)= lambda*-p(-x) -> p(x) = -p(-x) $

3) Chiuso rispetto alla somma: con $ lambda ,mu in R $ e 2 generici polinomi $ p(x), p(tilde(x)) $ appartenenti all'insieme abbiamo

$ lambda*p(x) + mu*p(tilde(x)) = lambda*-p(-x) + mu*-p(tilde(x)) $ e quindi soddisfa la condizione.

Questo ragionamento è giusto?

[dissonance]

In (2) la freccia che ti serve è quella contraria. Tra l'altro come lo hai scritto è falso: se \(\lambda=0\) l'identità di sinistra è banalmente vera, ma quella di destra potrebbe non esserlo.

Pure in (3) hai pasticciato. La \(x\) è la stessa per tutti, devi considerare due polinomi \(p(x)\) e \(\tilde{p}(x)\).

[ridley]

Grazie per la tua risposta. Quindi avendo $ p(x) = -p*(x) -> lambda*p(x) = lambda*-p(-x) $ ho verificato la chiusura rispetto al prodotto per scalare? Correggendo l'errore di notazione che ho fatto nella somma posso dire che quell'insieme è un sottospazio vettoriale?

[dissonance]

Il punto (2) lo hai fatto. Per il punto (3), invece, si vede che sei in alto mare, purtroppo. Ripeto il mio suggerimento del post precedente. Devi prendere due polinomi \(p\) e \(\tilde p\) che verificano \(p(x)=-p(-x)\) e \(\tilde p (x)=-\tilde p (-x)\) rispettivamente, e verificare che il polinomio \(q=p+\tilde p\) verifica \(q(x)=q(-x)\).

[ridley]

Grazie ancora per il tuo aiuto. Credo di aver finalmente capito.
Quindi avendo 2 polinomi $ p(x) = -p(-x) $ e $ q(x) = -q(-x) $:

$p(x) + q(x) = r(x) $ e si spera che $r(x) = -r(-x)$, posso dire che $-p(-x) - q(-x) = r(x) $ ovvero $-(p(-x) + q(-x))=r(x)$. Alla fine ho:

$-r(-x) = r(x) $, questo è giusto?

[dissonance]

Mannaggia, quasi, ma ancora no. Hai scritto due volte \(r(x)\) nelle tue equazioni. Da dove hai preso \(r(-x)\)? Calcola esplicitamente \(r(-x)\).

[ridley]

Esplicitamente:

$p(x) = a + bx + cx^2, -p(-x) = -a + bx - cx^2, $
$ q(x) = d + ex + fx^2, -q(-x) = -d + ex - fx^2 $

Quindi: $ a + cx^2 = -a -cx^2 $

$ p(x) + q(x) = (a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 $

Verifichiamo la condizione:

$(a+d) + (b+c)x + (e+f)x^2 = -(a+d) + (b+c)x - (e+f)x^2 $

$ (a+d) + (e+f)x^2= -(a+d) - (e+f)x^2$, analogo a $ a + cx^2 = -a -cx^2 $

E' corretto? Ancora grazie per la pazienza.

[dissonance]

No, ti stai allontanando. Nota che
\[
r(-x)=p(-x)+q(-x).\]
Adesso ricordati che \(p(-x)=-p(x)\) e che \(q(-x)=-q(x)\) e continua tu.

[ridley]

No, ti stai allontanando. Nota che
\[ r(-x)=p(-x)+q(-x). \]

Ma quello è il raggionamento che ho fatto qua:

$ p(x) + q(x) = r(x) $ e si spera che $ r(x) = -r(-x) $, posso dire che $ -p(-x) - q(-x) = r(x) $ ovvero $ -(p(-x) + q(-x))=r(x) $. Alla fine ho:

$ -r(-x) = r(x) $

[dissonance]

E allora lo hai scritto in un modo confuso e non riesco a seguirlo. Da dove esce \(-p(-x)-q(-x)=r(x)\)? E sopratutto, come fai a concludere?

Io lo farei così. Per definizione \(r(x)=p(x)+q(x)\). Quindi \(r(-x)=p(-x)+q(-x)=-p(x)-q(x)=-r(x)\). Fine.

Secondo me è più corto e più chiaro.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

P.S.: Si scrive "ragionamento", con una g sola.