Spazio tangente su varietà differenziale

[r_maz]

$ \sigma $Ciao ragazzi ! Ho un dubbio sulla definizione di spazio tangente ad un punto $ p $ di una varietà differenziale. Il concetto di spazio tangente viene introdotto molto intuitivamente come spazio generato dai vettori tangenti ad una curva $ \sigma(t) $ sulla varietà differenziale $ M $, ciascuno dei quali è il vettore tangente di una $ \sigma(t) $ diversa passante per lo stesso punto $ p $.
Nella formalizzazione di questo concetto si considera quindi una curva $ \sigma:t\inR-> M $ e, dato il germe di funzioni $ f\in C_p^\infty $ , si considera la curva composta $ f[\sigma(t)] $ . Sia $ f $ che $ \sigma $ hanno una rappresentazione tramite una certa carta in un generico $ R^n $ . Quello che non capisco è il motivo per cui sia necessario considerare la composizione anziché limitarsi a considerare la rappresentazione di $ \sigma $ su $ R^n $ tramite la carta stessa.

Grazie mille, aspetto una risposta

[vict85]

Moderatore: vict85

Muovo in geometria e algebra lineare.

[dissonance]

Infatti se la definizione è quella lì potresti considerare le coordinate di \(\sigma\). Otterresti una definizione equivalente di spazio tangente. Il libro di Spivak contiene un remark molto interessante; sostanzialmente, lui dice che non importa come si definisca lo spazio tangente, tutte le definizioni ragionevoli sono equivalenti.