Verifica che i vettori sono Linearmente Indipendenti

[Giu1234]

Salve a tutti!

Come da titolo, vorrei verificare se questi vettori nello spazio vettoriale `M_{2}R` sono linearmente indipendenti.

$ v_{1} = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{2} = ( ( 1 , -1 ),( 0 , 0 ) ) $ $ v_{3} = ( ( 1 , 1 ),( 1 , 0 ) ) $

Ho iniziato facendo la combinazione lineare.

$ ( ( alpha , alpha ),( 0 , 0 ) ) + ( ( beta , -beta ),( 0 , 0 ) ) + ( ( gamma , gamma ),( gamma , 0 ) ) = ( ( alpha + beta + gamma, alpha -beta + gamma ),( gamma , 0 ) ) $

E ora dovrei verificare che i coefficenti siano tutti nulli.

$ { ( alpha+beta+gamma = 0 ),( alpha - beta + gamma = 0 ),( gamma = 0 ), (0=0):} $

Ho un 0 = 0, cosa c'è che non va? Oppure ho semplicemente trovato che i vettori sono linearmente dipendenti? E' strano, io non vedo relazioni.

[cooper]

$0=0$ ti sta semplicemente dicendo che lì non devi verificare niente, i due valori coincidono per ogni scelta dei parametri.

[Giu1234]

Quindi visto che tutti i coefficienti sono nulli, posso considerare i vettori Linearmente Indipendenti?
Ho un po' di dubbi a riguardo, soppratutto se ci sono matrici.

[cooper]

Quindi visto che tutti i coefficienti sono nulli, posso considerare i vettori Linearmente Indipendenti?

corretto. hai dimostrato che se $sum_i alpha_iv_i =0 rArr alpha_i =0, AAi$

Ho un po' di dubbi a riguardo, soppratutto se ci sono matrici.

se sei più comod* con i vettori potresti usare l'isomorfismo canonico tra lo spazio vettoriale delle matrici $n xx n$ e lo spazio vettoriale $RR^(n^2)$, anche se forse non ne avete ancora parlato essendo all'inidipendenza lineare.

[dissonance]

$ { ( alpha+beta+gamma = 0 ),( alpha - beta + gamma = 0 ),( gamma = 0 ), (0=0):} $

Questo lo devi risolvere, adesso.

[cooper]

@dissonance: penso che l'abbia risolto, anche perchè ha detto che tutti i coefficienti sono nulli. credo la disturbasse proprio il fatto di avere un'equazione senza parametri

[Giu1234]

Si, l'ho risolto, grazie a tutti!
In seguito l'esercizio mi chiede di completarli a base di $ M_{2}R $ . Solo che non ho capito esattamente cosa mi stia chiedendo. Significa che devo aggiungere quel vettore (magari preso dalla base canonica) che mi permette di eliminare quell'uguaglianza?

[cooper]

lo spazio delle matrici $2 xx 2$ (quello che tu hai chiamato $M_2(RR)$) ha dimensione 4, quindi una sua base è formata da quattro elementi. i vettori che hai tu invece sono solo 3. devi quindi aggiungerne uno che sia linearmente indipendente dai tre che già hai e che permetta di generare lo spazio.
usare la base canonica è un'ottima idea

[Giu1234]

Va bene, grazie @cooper !