Applicazioni Lineari

[Oscar19]

ciao a tutti
rieccomi qui con il mio solito problema sulle applicazioni....
come ben avete capito sono la mia croce e la mia delizia....
cominciamo...
Testo
sia$f:M2(R)$ $->$ $M2(R)$ l'applicazione lineare definita da $f(A)=A+A^t$ per ogni $A$ $in$ $M2(R)$
determinare $M2(R)$ la dimensione ed una base per $Ker(f)$ $Im(f)$.
determinare la matrice associata a f relativamente alla base$ C=|(1,1),(0,0)|$ $|(1,0),(1,0)|$ $|(1,0),(0,1)|$ $|(0,0),(0,1)|$

Soluzione

essendo $f(A)=A+A^t$ avrò la matrice $ A=$ $((a,b),(c,d))+((a,c),(b,d))$ = $((2a,b+c),(c+b,2d))$

se considero la base canonica $ B=$ $ E11,E12,E21,E22 $
$ A=$$|(2,0),(0,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,1),(1,0)|$ $|(0,0),(0,2)|$

avrò la matrice associata $ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$
con l'eliminazione di Gauss avrò

$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$$ A= ((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$

la $dim Im(f)=3$ con $B Im(f)=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0)$

la $dimKer(f)=1$

sapendo che si ottiene dal sistema omogeneo

$\{(2a= 0),(b+c= 0),(c+b=0),(2d =0):}$

la base $Bker(f)=(0,b),(b,0)$$=$$((0,1),(1,0))$

è giusto???????????????

[cooper]

ciao!
1. hai fatto un macello con i simboli del dollaro: basta che ne metti uno ad inizio formula ed uno alla fine, non c'è bisogno di metterne uno prima e dopo tutto ciò che scrivi. ho cercato di comprendere ma molti possono non farlo e quindi non aiutarti
2. in generale hai fatto bene solo un paio di cose:

2.a) tutte le basi devono essere costituite da matrici perchè stiamo lavorando in spazi di matrici
2.b) nel nucleo hai sbagliato a risolvere il sistema. un generico elemento del kernel ha la seguente forma $ { ( c in RR ),( a=d=0 ),( b=-c ):} $ com'è quindi una base?

[Oscar19]

Ciao a tutti e a Cooper
Scusate il ritardo.... !!!è vero ho fatto un macello con i dollari mi sento mortificato.
Il problema è stato che avevo scritto tutto l'esercizio in modo corretto con i dollari (come puoi vedere la prima parte era scritta in modo giusto , perchè salvata in bozze e anche perché cerco di controllarlo nell'anteprima ) poi all'improvviso mentre stavo inviando il messaggio mi ha dato dei problemi e questo è il risultato....mi dispiace

allora se non ho capito male...la prima parte è giusta....????
Cerco di risponderti in modo corretto...sperando di non scrivere cavolate.....

2.a) tutte le basi devono essere costituite da matrici perchè stiamo lavorando in spazi di matrici

Io avevo scritto così :

A=$|(2a,c+b),(b+c,d)|$

$E11=|(2,0),(0,0)|$ $E=12|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,1),(1,0)|$ $E=|(0,0),(0,2)|$ da cui si ottiene

$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ con l'eliminazione di Gauss

$C=((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2))$ $->$ $((2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,0,0,2),(0,0,0,0))$

con $ dimIm(f)=3 $

e base $ B(Im(f))=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0) $



2.b) nel nucleo hai sbagliato a risolvere il sistema. un generico elemento del kernel ha la seguente forma $ { ( c in RR ),( a=d=0 ),( b=-c ):} $ com'è quindi una base?

$B(ker(f))=|(0,-c),(-c,0)|$ cioè $|(0,-1),(-1,0)|$

con $dimker(f)=3$

PS. mi è venuto un dubbio non vorrei scrivere una sciocchezza ma la base del nucleo può essere invece
$|(0,0),(0,0)|$

[cooper]

con $dimIm(f)=3$

e base $ B(Im(f))=(2,0,0,0),(0,1,1,0),(0,1,1,0)$

temo tu abbia frainteso: ho editato sul mio pc il tuo messaggio ed ho visto cosa avevi scritto in modo "corretto". il problema è proprio che la risposta che hai dato è sbagliata. non in termini di conto ma del modo in cui presenti il risultato. essendo l'a.l. definita su spazi di matrici anche l'immagine ed il nucleo sono sottospazi di matrici e quindi le loro basi non devono essere espresse come vettori ma come matrici. devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori (è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere )

$ B(ker(f))=|(0,-c),(-c,0)| $ cioè $ |(0,-1),(-1,0)| $

con $ dimker(f)=3 $

ok, la correzione della base del nucleo va bene. ma perchè mai la dimensione dovrebbe essere 3? qual è la definizione di dimensione? oltretutto hai a disposizione anche un certo teorema sulle dimensioni di nucleo ed immagine, giusto per conferma dei calcoli (quale?)......

[Oscar19]

E son di nuovo.......

devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori .....
"in che senso...?????"
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere ) come sarebbe allora........?????????????

ok, la correzione della base del nucleo va bene. ma perchè mai la dimensione dovrebbe essere 3?

Ops...... hai ragione la $ dimker(f)=1 $

qual è la definizione di dimensione?

" La dimensione dello spazio vettoriale V, $ dim V $ è pari al numero dei vettori di una base" citazione del libro....
in poche parole significa il numero dei vettori che sono linearmente indipendenti che costituiscono la base


oltretutto hai a disposizione anche un certo teorema sulle dimensioni di nucleo ed immagine, giusto per conferma dei calcoli (quale?)......

$ dimKer(f)= dimV - dimIm(f)=4-3=1 $

[cooper]

devi esprimere la base B che hai trovato (sottolineo ancora che è corretta) come un insieme di tre matrici e non vettori .....
"in che senso...?????"
(è solo un errore di forma che però ha una certa rilevanza se non capisci perchè vada fatto così. nel qual caso basta chiedere ) come sarebbe allora........?????????????

semplicemente una base dell'immagine è $ B(Im(f))={((2,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,2)) }$
mi sono accorto nello scriverla però che in realtà è proprio sbagliata. come vedi nella tua il secondo ed il terzo vettore sono uguali e questo non può essere (perchè?). una volta ridotta con Gauss devi prendere come elementi della base le colonne dove ci sono i pivot.

Ops...... [ecc ecc]

[Oscar19]

Ok Cooper.............
semplicemente una base dell'immagine è $ B(Im(f))={((2,0),(0,0)),((0,1),(1,0)),((0,0),(0,2)) } $

Ora ho capito cosa intendevi.... pensavo qualcosa di mi son spiegato....!!!!????

mi sono accorto nello scriverla però che in realtà è proprio sbagliata. come vedi nella tua il secondo ed il terzo vettore sono uguali e questo non può essere (perchè?). una volta ridotta con Gauss devi prendere come elementi della base le colonne dove ci sono i pivot.

Hai proprio ragione errore di ...... .come si è ben capito non sono al cento per cento ....postumi influenzali

Grazie sei sempre un grande.....

[cooper]

Ora ho capito cosa intendevi....

ottimo!