Topologia e chiusura di un insieme

[Mappers98]

Buongiorno ho difficoltà a risolvere e comprendere il seguente esercizio:
sul piano $R^2$ si consideri la famiglia $T$ formata dall'insieme vuoto,da $R^2$ e da tutti i dischi aperti (senza bordo) ${x^2+y^2<r^2}$, per $r>0$. Dimostrare che $T$ è una topologia e determinare la chiusura di $xy=1$. Sono riuscito a svolgere la prima richiesta ma ho dubbi sulla seconda. La definizione di chiusura di un sottoinsieme afferma che esso è il più piccolo chiuso che contiene il sottoinsieme, cioè l'intersezione di tutti i chiusi che contengono il sottoinsieme. Dato che $T$ è formato da aperti passo al complementare trovando ${R^2,\emptyset, x^2+y^2>=r^2}$ e poi cercando tra questi elementi il più piccolo chiuso che contiene il sottoinsieme $xy=1$ trovo come soluzione $x^2+y^2>=r^2$. E' corretto o mi sto perdendo qualcosa? Grazie mille in anticipo per gli aiuti.

[fractalius]

Rifletti: l'insieme $xy=1$ che cos'è? Quel che dici è giusto, ma hai omesso un'informazione importante.

[Mappers98]

È un iperbole equilatera? non capisco come usare questa info però..

[Mappers98]

R=1? Quindi la chiusura è x^2+y^2>=1?

[fractalius]

È un iperbole equilatera? non capisco come usare questa info però..

Al di là delle formule, questo è un ottimo esempio in cui avere una visualizzazione nel piano di quello che succede è molto utile: hai un'iperbole, che è un sottoinsieme illimitato di $\mathbb{R}^2$ che però lascia "dello spazio" in un intorno sufficientemente piccolo dell'origine. Un chiuso che contiene l'iperbole sarà quindi il complementare di una palla aperta $B_r$ con $r \leq 1$, e il più piccolo chiuso tra essi, ossia la chiusura di $xy = 1$, sarà il complementare della palla di raggio massimo tra quelle indicate, ossia per $r =1$. Non so se hai ragionato così (non hai specificato come hai dedotto che la chiusura doveva essere il complementare di una palla aperta): se sì, sono stato ridondante e mi dispiace, se no spero di esserti stato utile