Buona sera! Ho un esercizio che mi lascia alcuni dubbi
Sia $tau$ la famiglia di sottoinsiemi di $NN$ data da $O/$, $NN$ e ${1,...n}$ per ogni $n in NN$.
a)stabilire se $(NN,tau)$ è uno spazio topologico compatto e se è uno spazio topologico di Hausdorff;
b) dimostrare che se $(X,tau_X)$ è uno spazio topologico di Hausdorff, allora ogni funzione continua $f:(NN,tau) rarr (X,tau_X)$ è necessariamente costante
a) Per la compattezza, supponiamo di voler scrivere $NN$ come $ NN=uuu_alpha N_k $ , dove con $N_k$ indico gli aperti di $(NN,tau)$. Allora un ricoprimento di $NN$ è un suo sottoinsieme proprio $ rarr $ assurdo, quindi $NN$ non è compatto.
Per dimostrare se è di Hausdorff osserviamo che gli aperti di $(NN,tau)$ si intersecano $ nnn_(k=1)^n N_k != \O/ $. Infatti,siano ad esempio ${1,..k}nn{1,..s}$ due aperti con $k<s$. La loro intersezione è ${1,...k}$. Allora $(NN, tau)$ non è di Hausdorff.
b)Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Allora la controimmagine di ogni aperto di $(X,tau_X)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Siano $A_1 sube X $ e $A_2 sube X$ aperti di $(X,tau_X)$ tali che $A_1 nn A_2=O/$ perchè sono di Hausdorff.La controimmagine $f^-1(A_1)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Analogamente $f^-1(A_2)$ è un aperto di $(NN,tau)$. Ma allora $A_1 nn A_2= O/$ e $f^-1(A_1) nnf^-1(A_2)!=O/ rarr $ contraddizione, quindi $f$ è costante