Chiarimento su esempio per determinare Matrici Associate

[marco.p]

Buongiorno,

sul libro di testo (ISBN-10: 8874889763, ISBN-13: 978-8874889761) sono arrivato a questo esempio (ho acquistato il libro su Google Play quindi ho fatto uno screenshot):



Potreste spiegarmi perché ẽ1 e ẽ2 coinciderebbero rispettivamente con (0,-1) e (1,1)? (Testo sottolineato in verde)
Per quale motivo quando esegue la trasformazione, usa i trasformati di T(1,1) e T(-1,0), cioè (2,-1,0) e (0,4,-2) e non gli elementi di una base naturale di B'? (Testo sottolineato in blu).

Grazie

[marco2132k]

Perdona la mia ignoranza, ma cosa significa \( {\equiv} \) ? Cioè \( e_1 \equiv_\mathcal{B} (0,-1) \) che vuol dire?

intanto per la seconda vedi:

Codice:

https://i.imgur.com/ToKrp17.png

[marco.p]

Perdona tu la mia, non ne sono sicuro!
Da come l'ho inteso io significa che i vettori e1 e e2 coincidono con quegli elementi della base B.
Questa è l'unica spiegazione che mi sono dato, facendo una ricerca nelle pagine precedenti del testo non trovo niente, sicuramente è sfuggito qualcosa a me.
Speravo anche che qualcuno, rispondendo, mi chiarisse anche questo dubbio, pensando che tra le persone più abili di me in algebra lineare fosse scontato!

[marco.p]

intanto per la seconda vedi:

Codice:

https://i.imgur.com/ToKrp17.png

Conosco quella definizione è praticamente identica a quella che da il libro, quello che non comprendo (ma è un mio limite intellettivo) è essendo la matrice relativa alle basi naturali di B e B' e non proprio a B e B', perché nella trasformazione c'è la base B' anziché una sua base naturale?

Ad esempio, un pezzo dell'esercizio che non avevo screenshottato illustra come ricavare la matrice relativa a B e alla Base naturale di B', in questo esempio il testo usa come elementi (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) grazie ai quali equiparandoli agli elementi di B' ottiene i coefficenti per determinare la matrice. Perché non li usa anche in quello che ho postato?

[marco2132k]

Considera tutto ciò come un grande hint. Ricorda che un'applicazione lineare è univocamente determinata da come agisce sugli elementi di una base; se \(\mathcal B\) è una (non la) base del tuo spazio di partenza (per ora facciamo un qualsiasi \( \mathbb K \)-spazio vettoriale \( V \), poi ci spostiamo in \(\mathbb{R}^n\)), e letteralmente scrivi¹ \( Tv_i \) per \( i=1,\dots,n \) in una base arbitraria dello spazio di arrivo (fai, sempre per ora, un altro \( \mathbb K \)-spazio vettoriale \( W \)), fai \( \mathcal W \), la matrice associata a \( T \) ha per colonne le coordinate di \( Tv_i \) nella base \( \mathcal W \).

L'esercizio ti chiede di determinare la matrice associata ad un morfismo \( T \) rispetto ad altre due basi \( \mathcal{V}' \) e \( \mathcal{W}' \) rispettivamente dei due spazi. Tu però non hai, al momento, le informazioni necessarie per comporre questa matrice, dato che ciò che ti occorre è il risultato dell'applicazione di \( T \) agli elementi della nuova base \( \mathcal{V}' \). Se \( \mathcal{V}'=\{v'_i\}_{i=1,\dots,n} \) però \( v'_i=\alpha_{11}v_1+\dots \), dove \( v_i \) è il vettore della base originaria, \( \mathcal V \), quindi \[ \begin{split} Tv'_1&=T(\alpha_{11}v_1+\dots)=\text{qualcosa espresso in }\mathcal W\\ Tv'_2&=T(\alpha_{12}v_1+\dots )=\text{qualcos'altro espresso in }\mathcal W \end{split} \] e per la linearità di \( T \) è \( T(v'_i)= \alpha_{1i}Tv_i+\dots\) quindi...

Esempio concreto (cioè il tuo esercizio):
Se \[ T\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\ -1\\ 0\end{pmatrix},\quad T\begin{pmatrix}-1\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 4\\ -2\end{pmatrix} \] ed essendo per gli elementi di \( \tilde{\mathcal{B}}=\{e_1,e_2\} \), \( e_1 = \alpha_1(1,1)+\beta_1(-1,0) \) per qualche \(\alpha_1,\beta_1\in\mathbb R\) (e analoghe per \( e_2 \)...), sarà \[ T\begin{pmatrix}\alpha_1\\ \beta_1\end{pmatrix}=\dots,\quad T\begin{pmatrix}\dots\end{pmatrix} =\dots\] tutto ciò che ti occorre è determinare questi coefficienti, cosa facile. Continua tu ora.

essendo la matrice relativa alle basi naturali di B e B' e non proprio a B e B', perché nella trasformazione c'è la base B' anziché una sua base naturale?

Spero di aver risposto a questa richiesta, che purtroppo non mi è chiara... Se hai dubbi, scrivi pure, ma cerca di utilizzare le formule \(\LaTeX\), come ho fatto io: rendono tutto meno suscettibile di fraintendimenti

---

Note

1. Non uso le parentesi, a.k.a. scrivo \( Tv_1 \) al posto di \( T(v_1) \). ↑

[marco2132k]

p.s. Ho scoperto il significato di \(\equiv_\mathcal{V}\) per una base \( \mathcal V \)...

[marco.p]

p.s. Ho scoperto il significato di \(\equiv_\mathcal{V}\) per una base \( \mathcal V \)...

Cioè???

Comunque grazie, forse sto iniziando a capire.
Mi resta ancora il dubbio sul perché e1 sia il secondo elemento di B invertito, come forse e2 è il primo elemento di B.

[marco2132k]

Per formare la matrice associata richiesta, che tu voglia o meno, hai bisogno di \( Te_1 \) e di \( Te_2 \), dove \( e_1,e_2\in\tilde{\mathcal B} \). Ma... come puoi fare a calcolarli? Di \( T \) sai solo che¹². \( T{^t(1,1)}={^t(2,-1,0)} \) e \( T{^t(-1,0)}={^t(0,4,-2)} \).

Fortunatamente, \( \mathcal B = \{(1,1),(-1,0)\}\) è una base, puoi pensare di scrivere i vettori della base canonica \( \tilde{\mathcal B} \) come una combinazione lineare dei vettori di \( \mathcal B \). Fatto ciò, ossia ottenuto \[ \begin{split} e_1 &= \alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)}\\ e_2 &= \alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)} \end{split} \] per dei numeri \( \alpha_{ij} \), (trova questi benedetti coefficienti!), possiamo determinare \( Te_1 \) e di \( Te_2 \), in quanto (per la linearità di \( T \)) è \[ \begin{split} Te_1&=T(\alpha_{11}{^t(1,1)}+\alpha_{21}{^t(-1,0)})=\alpha_{11}T{^t(1,1)}+\dots\\ Te_2&=T(\alpha_{12}{^t(1,1)}+\alpha_{22}{^t(-1,0)})=\alpha_{12}T{^t(1,1)}+\dots \end{split} \] e l'immagini \( T{^t(1,1)} \) e \( T{^t(-1,0)} \) sono cosa a te nota.

perché e1 sia il secondo elemento di B invertito

Ho cercato di fartici arrivare da solo su questo: calcola gli \(\alpha_{ij}\), ossia letteralmente "esprimi \( e_1 \) e il suo amico nella base \( \mathcal B \)". Scoprirai che è una mera casualità questo fatto, che non ha nulla a che vedere con la teoria...

---

Note

1. Per essere più conciso indico il vettore colonna \( \left(\begin{smallmatrix}x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n\end{smallmatrix}\right) \) con la sua trasposta \( {^t(x_1,x_2,\dots,x_n)} \). ↑
2. Non ti è data alcuna espressione del tipo \( T(v)=\text{cose} \), per qualsiasi vettore \( v \) del dominio. Tieni presente questo punto. ↑

[marco2132k]

p.s. Ho scoperto il significato di \( \equiv_\mathcal{V} \) per una base \( \mathcal V \)...

cioè?

Se \( V \) \( \mathbb K\)-spazio vett. e \( \mathcal V \), \( \mathcal{V}' \) basi, e \( X_1,X_2\in\mathbb{K}\) sono due rappresentazioni (a.k.a. \(n\)-uple ordinate con le componenti dentro) dello stesso vettore rispettivamente a \(\mathcal V\) e a \(\mathcal{V}'\), allora il tuo testo apparentemente esprime questo fatto scrivendo \(X_1\equiv_{\mathcal{V}'}X_2\).

[anto_zoolander]

quel $equiv_B$ è un modo poco elegante di esprimere le coordinate di un vettore rispetto ad una base.