Dimensione matrice non quadrata

[maxira]

"Data la matrice $ A= ( ( k , 0 , 1 , 2 ),( -1 , -2k , k , 3 ),( -2 , 0 , -1 , 2 ) ) $:
(i) discutere sulla dimensione del sottospazio H generato dalle righe di A;
(ii) posto k = 2, si determini una base di H e la si completi ad una base di R4.
(iii) "


Come posso svolgerlo? Va bene se considero un minore della matrice e mi regolo sul determinante di quel minore?
Ad esempio:

(i) $ M= ( ( k , 0 , 1 ),( -1 , -2k , k ),( -2 , 0 , -1 ) ) $

$det(M) = 2k^2-4k$

Quando il determinante è diverso da 0, quindi per $ k!=0, k!=2 $ la dimensione del sottospazio è 3.
Quando $ k = 0 $ o $ k = 2 $ è 2.

(ii) $ A= ( ( 2 , 0 , 1 , 2 ),( -1 , -4 , 2 , 3 ),( -2 , 0 , -1 , 2 ) ) $

Una base è $ B = {( 2 , 0 , 1 , 2 ),( -1 , -4 , 2 , 3 ),( -2 , 0 , -1 , 2 )} $

La completo: $ B = {( 2 , 0 , 1 , 2 ),( -1 , -4 , 2 , 3 ),( -2 , 0 , -1 , 2 ), (0,0,1,0) } $

[cooper]

non ho tempo di controllare i conti, però
i) riduci con Gauss e vedi quando le colonne sono linearmente indipendenti (quando ha rango massimo quella matrice in pratica)
ii) non so se sia giusta, però nel tuo caso i) e ii) si contraddicono: se dici in i) che la dimensione è 2 allora la base deve avere 2 vettori, non 3. quindi una delle due è sicuramente sbagliata.

[dissonance]

Comunque, con i minori va bene ragionare, però bisogna farlo per bene. @maxira: Se \(k\ne 0, 2\), c'è un minore non nullo di ordine 3 e quindi la matrice ha rango 3, ovvero, le tre righe sono linearmente indipendenti. E fin qui sono d'accordo con te. Ma se \(k=0\) oppure \(k=2\), tu non hai dimostrato nulla. Infatti, quel particolare minore che tu hai considerato si annulla, ma chi ti dice che si annullino pure gli altri?