Iperpiano

[viniber123]

Ciao a tutti,

Non riesco a capire il seguente teorema, che riguarda gli iperspazi vettoriali:

"Sia B una base di uno spazio vettoriale V di dimensione n e siano ( x1.....xn) le componenti di un qualsiasi vettore x di V rispetto alla base B.

1. Tutte e sole le equazioni lineari omogenee in ( x1...xn) rappresentano, rispetto alla base B, gli iperpiani vettoriali di V.

2. Ogni sottospazio vettoriale W di V di dimensione k è rappresentabile, rispetto alla base B, mediante un sistema lineare omogeneo di n-k equazioni nelle incognite ( x1....xn)."

Qualcuno, gentilmente, potrebbe spiegarmi il significato in modo semplice delle suddette affermazioni ?

Grazie in anticipo e buona giornata a tutti .

[anto_zoolander]

il teorema dice che un ogni sistema lineare di $1$ equazione individua un iperpiano.
per esempio:

- in dimensione 2 una retta è individuata da una equazione lineare
- in dimensione 3 un piano è individuato da da una equazione lineare
- in dimensione 4 un solido è individuato da una equazione lineare
- ecc..

l'altro dice che un sottospazio di uno spazio vettoriale puoi vederlo, in coordinate, come l'insieme dei vettori le cui coordinate soddisfano quel sistema.
per esempio:

in $RR^3$ il sottospazio $<(1,0,0),(0,2,1)> := W$ (usando la base canonica di $RR^3$) se $(x,y,z) in W$ significa che i vettori sono linearmente dipendenti e che quindi il determinante della matrice delle coordinate è nullo

$|(x,1,0),(y,0,2),(z,0,1)|=0 => |(y,2),(z,1)|=0 => y-2z=0$

di fatto tornando indietro troveresti i vettori $x*(1,0,0)+2z(0,1,0)+z(0,0,1)=(x,2z,z)$ che al variare di $x,z$ ti da tutti i vettori di $W$.

tra l'altro è anche un esempio per il primo.