Proprietà di un insieme

[sira]

Buona sera a tutti. Volevo chiedervi qualche parere su questo esercizio
Dato $n in NN$, si consideri il sottospazio $C_n$ di $RR^2$ definito da
$C_n={(x,y)in RR^2 | (x-1/n)^2+y^2=1/n^2}$
e si ponga $X=uuu_(n in NN) C_n$
a) Stabilire se $X$ è compatto e stabilire se $X$ è connesso
b) posto $Y=X-{(0,0)}$ stabilire se $Y$ è connesso per archi
a)$X$ è compatto perchè unione di insiemi chiusi e limitati (dal teorema di Heine-Borel è compatto)
$X$ è connesso perchè è connesso per archi, infatti possiamo scrivere un'applicazione continua $alpha(t)={(1-t)x,(1-t)[-(x-1/n)^2+1/n^2]}$, per cui si avrà $alpha(1)=0$ e $alpha(0)=(x,y)$
b) $Y$ non è connesso per archi perchè l'unico punto che "univa"gli insiemi $C_n$ era $(0,0)$ e poichè $0 !in Y rarr Y$ non è connesso per archi.

[otta96]

a) È giusto voler usare Heine-Cantor, ed è quasi giusto il motivo per cui $X$ è limitato, lo è perché unione di limitati EQUILIMITATI (è fondamentale questa ipotesi). Però non è giusto il motivo per cui $X$ è chiuso, infatti hai un'unione infinita di chiusi, che non sai a priori se è chiusa, devi procedere in un altro modo.
Per la connessione, l'idea c'è, solo che ci sono diversi termini non definiti, vanno definiti, inoltre l'immagine di $\alpha$ non è contenuta in $X$, quindi va modificata un po'.
b) Anche qui l'dea è giusta, ma va formalizzato un po' meglio, ad esempio prova a individuare le componenti connesse per archi di $Y$.

[sira]

Grazie per la risposta!
Per completare la dimostrazione della chiusura basta dire che l'unico punto di accumulazione che è $(0,0) $ è chiuso perché appartenente ad $ X $, quindi tutti i punti di $ X $ sono chiusi?
Come posso fare gli altri punti in modo che sia fatto bene?

[otta96]

$(0,0)$ non è l'unico punto di accumulazione di $X$, e qualsiasi punto di $RR^2$ è chiuso semplicemente perché lo spazio è $T_1$, quindi quello che hai scritto non ha senso.
Per vedere che è chiuso puoi prendere una successione ${x_n}_(n\inNN)\subseteqX$ convergente in $RR^2$, devi far vedere che il limite $x\inRR^2$ sta in $X$. Puoi fare due casi, se il $x=(0,0)$, come hai già osservato $x\inX$. Altrimenti esiste un intorno che non include l'origine in cui definitivamente la successione è inclusa. Per come è fatto $X$, questo intorno necessariamente esclude non solo l'origine, ma anche tutti tranne un numero finito di $C_n$ (spiegare perché), ma allora la successione è inclusa nell'unione dei restanti $C_n$, che essendo un'unione finita di chiusi è chiusa, quindi il limite ci appartiene, e allora appartiene anche a $X$.

[sira]

Grazie mille per la risposta!
Quindi ad esempio un intorno del punto $(1,0) $ esclude un numero finito di $ C_n $ perché se ogni punto di $ X $ è $ T_1 $ allora l'intersezione di tutti gli intorni di $ x $ è ${x} $