esercizio funzione localmente costante

Messaggioda sira » 15/11/2018, 17:45

Buona sera. Chiedo un parere su come è svolto questo esercizio
Dimostrare che
a) Se $f$ è localmente costante allora $f$ è continua
b) Se $f$ è localmente costante e $X$ è connesso allora $f$ è costante
a) Sia $f:X rarr Y$ una funzione localmente costante. Allora $ AA x in X $ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $ f_(|U)(x)=k $ . Allora la controimmagine di un intorno $V$ di $k$ è un intorno $U$ di $x rarr f^-1(V)sube U $. In particolare poichè $ f_(|U)$ è costante $ f^-1(k)= U rarr f$ è continua
b) Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Se $f$ è localmente costante dal punto a) $f$ è continua. Allora esistono $k_1,k_2 in Y$, $ k_1 !=k_2 $ tale che $ f^-1(k_1)=U $ e $ f^-1(k_2)=V $ , con $V,U$ intorni aperti di $x,y in X$.
In particolare $f^-1(k_1)uuf^-1(k_2)=U uu V$. Ma $ f^-1(k_1)nnf^-1(k_2)=O/ rarr UnnV=O/ $ e $X$ è sconnesso $rarr$ assurdo perchè $X$ è connesso $rarr f$ è costante
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda dissonance » 16/11/2018, 11:44

Secondo me è tutto sbagliato, purtroppo. Nella dimostrazione a) non si capisce niente. Mentre nella b) mi pare tu abbia "dimostrato" che tutte le funzioni continue sono costanti.
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda sira » 16/11/2018, 14:12

tu come lo risolveresti?
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda Bremen000 » 16/11/2018, 18:03

Ciao sira. Prova a essere più precisa quando scrivi. Secondo me il punto a) è corretto SE ho capito cosa vuoi dire. Solo che in teoria uno che legge non lo dovrebbe fare questo sforzo di decrittazione.
Penso tu volessi dimostrare che per ogni $x \in X$ si ha che $f$ è continua in $x$. Fissiamo $x \in X$ e prendiamo un intorno $V$ di $f(x)$. Devi far vedere che riesci a trovare $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Dì esattamente come costruisci/trovi questo $U$.

Nel punto b) non si capisce come tu concluda. Hai trovato due aperti $U, V \subseteq X$ disgiunti. Questo mica vuol dire che $X$ è sconnesso.
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda sira » 16/11/2018, 18:58

Grazie per la risposta!
Nel punto a) voglio che per ogni $ x in X $, $ U $ sia un intorno di $ x $ tale che $ f^(-1)(k)=U $ . Quindi sia $ V$ un intorno di $ k$, sì avrà $ V sube f (U) $
Nel punto b) devo dimostrare che le controimmagini di $ f$ sono tutti aperti disgiunti per mostrare che $ X $ è sconnesso?
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda Bremen000 » 16/11/2018, 19:21

Ho capito cosa vuoi dire. Non va bene scritto così. Non c’e bisogno di prendere quell’$U$. Completa quello che ho scritto da “Dì” in poi. Non ripetere chi sono $x$ e $V$ te li ho già fissati. Chi caspita è $k$? Hai scritto al contrario la def di continuità oltretutto. Precisa. Con calma. Scrivi e ricontrolla. Io non sono nella tua testa.
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda sira » 16/11/2018, 20:03

$ k $ è una costante. Quindi sia $ V $ un intorno di $ k $, la controimmagine $ f^(-1)(V) sube U $. Ma $ U $ è un intorno aperto di $ x $, quindi abbiamo che la controimmagine di un aperto contenente $ k $ è un sottoinsieme di $ U $ , cioè di un intorno di $ x $
(mi scuso da ora per eventuali errori/imperfezioni)
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda Bremen000 » 16/11/2018, 23:42

Eccomi. Non ci siamo. Cioè non scrivi le cose. Abbiamo fissato $x \in X $ e $V \subseteq Y$ intorno di $f(x)$. E tu mi dici "sia $k$ una costante", ma che vuol dire una costante? Quale? Perché? Poi prendi un intorno di $k$ e citi un $U$ che non hai detto chi è.

Fosse l'ultima cosa che faccio, questa dimostrazione non la scrivo io ma la porti in fondo tu!

Quindi: fissiamo $x \in X$ e $V \subseteq Y$ intorno di $f(x)$. Trovami $U \subseteq X$ intorno di $x$ t.c. $f(U) \subseteq V$. Non deve apparire alcun $k$ misterioso. Mi devi solo trovare $U$. Mi devi dire "$U$ è...." o "$U=...$. Non deve apparire alcuna controimmagine di alcunché. Solo mi devi dire chi è $U$.
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda sira » 17/11/2018, 08:40

Buongiorno e grazie ancora per la pazienza!
Spero di non scrivere stupidaggini!
Io so che $ U $ è un intorno di $ x $ e che per definizione di continuità $ f (U) sube V $. Quindi $ U=(x - epsilon, x+epsilon) $, con $ epsilon $ piccolo. (Se fossi in uno spazio topologico dotato di topologia discreta direi che $ U=x $, ma qui non lo so che topologia ha $ X$ )
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Re: esercizio funzione localmente costante

Messaggioda dissonance » 17/11/2018, 09:59

@sira: guarda, non ci siamo proprio. Fai moltissima confusione. Giusto per dirne una, hai scritto $(x-\epsilon, x+\epsilon) $, ma questo ha senso solo in $\mathbb R$.

Non è il momento di affrontare questo esercizio. Prima riprendi le definizioni fondamentali di logica e teoria degli insiemi, poi passa alle definizioni fondamentali di topologia e solo dopo potrai svolgere esercizi come questo. Avevo il tuo stesso problema anni fa, così ho scaricato un pdf del libro di topologia di Munkres (dopo ne ho comprata una copia cartacea perché mi è piaciuto molto). Il primo capitolo tratta le basi sugli insiemi e il secondo inizia con la topologia. È fatto molto bene.
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