Buona sera. Chiedo un parere su come è svolto questo esercizio
Dimostrare che
a) Se $f$ è localmente costante allora $f$ è continua
b) Se $f$ è localmente costante e $X$ è connesso allora $f$ è costante
a) Sia $f:X rarr Y$ una funzione localmente costante. Allora $ AA x in X $ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $ f_(|U)(x)=k $ . Allora la controimmagine di un intorno $V$ di $k$ è un intorno $U$ di $x rarr f^-1(V)sube U $. In particolare poichè $ f_(|U)$ è costante $ f^-1(k)= U rarr f$ è continua
b) Supponiamo per assurdo che $f$ non sia costante. Se $f$ è localmente costante dal punto a) $f$ è continua. Allora esistono $k_1,k_2 in Y$, $ k_1 !=k_2 $ tale che $ f^-1(k_1)=U $ e $ f^-1(k_2)=V $ , con $V,U$ intorni aperti di $x,y in X$.
In particolare $f^-1(k_1)uuf^-1(k_2)=U uu V$. Ma $ f^-1(k_1)nnf^-1(k_2)=O/ rarr UnnV=O/ $ e $X$ è sconnesso $rarr$ assurdo perchè $X$ è connesso $rarr f$ è costante