Dubbio su algebra lineare

[Daken97]

Salve, avrei un pesantissimo dubbio circa un esercizio svolto (sul web) che riguarda il concetto di sistema di generatori. In fondo al post ho linkato il sito, tuttavia devo spiegare il punto su cui non riesco a convergere.

Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che soddisfano il sistema ottenuto) mediante combinazione lineare di quei vettori. Io so che per essere un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione, e a quanto pare non è questo il caso.

Comunque il link in questione è il seguente, e dovete controllare l'esercizio finale.... https://www.youmath.it/lezioni/algebra- ... atori.html

[anto_zoolander]

Ciao!

Per le prossime volte ti chiedo il favore di scrivere l'esercizio: altrimenti chi ti aiuta deve stare con un occhio qui e uno sul link.

visto che non è possibile ottenere le basi

cosa significa questa frase?

un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione

ma infatti i vettori $(1,2,1)$ e $(3,2,2)$ soddisfano quella equazione e in più il terzo vettore dipende da questi due. Inoltre questi due vettori sono linearmente indipendenti, quindi a posto.

ogni sistema ${v_1,...,v_m} subseteqV$ di vettori linearmente indipendenti è una base dello spazio che generano(chiaramente deve essere $1leqmleqdimV$ per aver senso)

[Daken97]

Purtroppo (o per fortuna) 5 minuti dopo aver scritto questo quesito mi sono accorto che avevo commesso un grossolano errore di trascrizione, e perciò i conti non tornavano (senza avere la possibilità di cancellare la discussione, visto che prima deve essere approvata)... comunque volevo chiedere un'altra cosa: dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio? Io questa verifica la so effetturare solo per spazi vettoriali di tipo Rn.

[Bokonon]

dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio? Io questa verifica la so effetturare solo per spazi vettoriali di tipo Rn.

Quindi lo sai già.
Devono essere indipendenti e tanti quanti la dimensione dello spazio in questione, no?

[Daken97]

Io per verificare se un insieme di vettori è un sistema di generatori di Rn, gli associo una matrice (inserendo i vettori per colonna) e guardo il rango... se esso è massimo, allora la risposta è positiva, in caso contrario negativa.

[anto_zoolander]

Un sistema di generatori deve semplicemente soddisfare il requisito di saturare il sottospazio.
Chiaramente c’è qualche teorema di caratterizzazione: se conosci la dimensione di un sottospazio e trovi un sistema di vettori linearmente indipendenti pari alla dimensione, trovi una base e quindi dei generatori.

Per esempio nello spazio delle funzioni $C^(infty)(RR^(RR))$ un sistema di generatori è dato da $S={x^k: k inNN}$ in quanto ogni funzione classe $C^(infty)$ si scrive come

$sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(0))/(k!)*x^k$

In genere i generatori te li devi andare a cercare

[Daken97]

Va benissimo... comunque sbaglio, oppure c'è una piccola inasettezza in quello che ha scritto l'utente Bokonon? Nel senso che il criterio che ha citato lui serve per stabilire se un insieme di vettori è una base di uno spazio vettoriale, e un sistema di generatori non è necessariamente tale (mentre una base è sempre un insieme di generatori).

[anto_zoolander]

E' corretto quello che dice.
E' vero che se hai una spazio vettoriale e $v_1,...,v_n$ vettori indipendenti di $V$ con $dimV=n$ allora essi sono generatori, perchè formano una base.

di fatto se non lo fossero avresti che per almeno un $v in V$ il sistema ${v,v_1,...,v_n}$ sarebbe linearmente indipendente, cosa impossibile essendo $n$ la sua dimensione.

Quello che dici tu però è anche vero, nel senso: se hai un sistema di generatori, non hai necessariamente a che fare con una base. Però sicuramente da quel sistema una base puoi estrarla.

[Daken97]

Eh appunto... ad esempio l'insieme {[1,0],[0,2],[6,6]} di R2 è un sistema di generatori per quello spazio, ma non una base, perchè il terzo vettore dipende linearmente dai primo e dal secondo. Difatti R2 ha dimensione 2, mentre il sistema di generatori è composto da 3 vettori. Non è una base, ma un sistema di generatori sì! Pertanto il suo criterio serve per verificare se abbiamo a che fare con una base, ma non (necessariamente) con un generico insieme di generatori.

[Magma]

[…] dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio?

Dalla definizione di generatori di uno spazio vettoriale finito si ha

$mathcal(L){v_1,...,v_n}=V hArr AA v in V, EE alpha_1,...,alpha_n in RR \text{ tale che } v=alpha_1v_1+...+alpha_nv_n$

dovresti dimostrare che ogni vettore $v in V$ può essere scritto come C.L. dei generatori di $V$; cosa poco fattibile!

Io per verificare se un insieme di vettori è un sistema di generatori di $RR^n$, gli associo una matrice (inserendo i vettori per colonna) e guardo il rango...

Così verifichi l'indipendenza lineare dei generatori; inoltre, se il rango è massimo, sfruttando il lemma di Steinitz, trovi proprio che sono una base.

Infatti, quello che vuole dirti @anto è che se dimostri che

$mathcal(E)={((1),(0)),((0),(1))}$ è una base di $RR^2$, allora $mathcalE$ è anche un insieme di generatori di $RR^2$ (¹)

In sostanza l'insieme delle basi di un sottospazio vettoriale finitamente generato è l'intersezione dell'insieme dei generatori con l'insieme dei vettori linearmente indipendenti.

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Note

1. Per definizione di base! ↑