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Drakenquello di cui parla Bokonon, e di cui si renderà conto tra una decina di messaggi, è che esiste un teorema molto importante che prende il nome di:
teorema di caratterizzazione delle basi.
Questo teorema fa più o meno capire in che relazione debbano stare generatori e vettori linearmente indipendenti per formare una base. In particolare si introduce il seguente concetto:
sia $V$ un $K-$spazio vettoriale $S={v_1,...,v_n}$ un sistema di generatori di $V$.
Diremo che $S$ è un sistema
minimale di generatori se ogni volta che togli un vettore da $S$, il sistema non genera più lo spazio. In formule:
$S$ minimale se $forallv in S( <<Ssetminus{v}>> subset V)$
qual è il senso di questa definizione? viene in maniera naturale dalla domanda che ci si può porre con un po' di buon senso:
ma esiste un numero minimo necessario di vettori per generarmi uno spazio?magari ai tempi si chiedevano "ma $RR^2$ può essere generato da $1$ vettore? Oppure c'è un numero minimo da rispettare?" In effetti questa domanda trova risposta, ed è la seguente:
$S$ è minimale se e solo se $S$ è una base di $V$
potendo dimostrare che tutte le basi di $V$ hanno lo stesso numero di vettori, si può affermare che questo numero minimo esiste ed è il numero di vettori necessario a formare una base.
NB: dimostrazione del fatto precedente sotto spoiler
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
supponiamo che $S$ sia minimale: basta mostrare che $S$ è indipendente.
se fosse dipendente allora esisterebbe una sequenza $a_1,...,a_n$ di scalari non tutti nulli tali che
$sum_(k=1)^(n)a_kv_k=0$
a meno di rienumerare i vettori, possiamo supporre che $a_1$ sia non nullo e che quindi
$v_1=sum_(k=2)^(n)(-(a_k)/(a_1))v_k => v_1 in <<v_2,...,v_n>>$
questo significa che $V= <<v_1,...,v_n>> = <<v_2,...,v_n>>$ e questo è assurdo in quanto per ipotesi quello era un sistema minimale. Quindi devono essere linearmente indipendenti.
dov'è l'assurdo?
l'assurdo risiede nel fatto supponendoli linearmente dipendenti potremmo trovare un sottoinsieme di quei vettori, quindi più piccolo, che risulti anche esso un sistema di generatori, contraddicentro il fatto che fosse minimaleil viceversa è ovvio. Supponiamo che $S$ sia una base e consideriamo $S'=Ssetminus{v_k}$ con $1leqkleqn$ è chiaro che $<<Ssetminus{v_k}>> subseteq <<S>>$ ma è anche chiaro che $v_k notin <<Ssetminus{v_k}>>$, altrimenti sarebbero linearmente dipendenti: quindi l'inclusione è propria e si ha la tesi.
