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Generalizzazione della formula di Grassman

MessaggioInviato: 19/11/2018, 20:19
da Daken97
Salve, volevo sapere una cosa, anche se probabilmente la risposta è abbastanza banale... la formula di Grassmann per la somma di sottospazi vettoriali segue esattamente la stessa logica del principio d'inclusione esclusione? In soldoni, se dovessi sommare più di 2 sottospazi vettoriali potrei eseguire un procedimento analogo al calcolo della cardinalità della somma di vari insiemi?

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 19/11/2018, 21:39
da dissonance
No, ed è una cosa sorprendente, anche io ho pensato a lungo che la logica della formula di grassmann fosse la stessa del principio di inclusione-esclusione. Sono sicuro di avere scritto un post con dettagli su questo argomento molti anni fa.

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 19/11/2018, 22:26
da Daken97
dissonance ha scritto:No, ed è una cosa sorprendente, anche io ho pensato a lungo che la logica della formula di grassmann fosse la stessa del principio di inclusione-esclusione. Sono sicuro di avere scritto un post con dettagli su questo argomento molti anni fa.



Potresti pure approfondire, se possibile. :D

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 01:04
da anto_zoolander
Anche io avevo lo stesso pensiero.
Poi mi sono reso conto che il problema alla base del fatto che non seguano la stessa logica è che non si ha, che io sappia, molto ‘potere’ sullo spazio $Vcap(U+W)$ se non quella che, sotto opportune ipotesi, questo spazio possa essere lo spazio nullo.

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 07:24
da dissonance
Ottima osservazione, Anto.

formula-di-grassmann-t69768.html

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 13:00
da fmnq

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 14:58
da anto_zoolander
@dissonance
Grazie :-D :-D

@Draken
Per completezza: una cosa che si può fare è quella di avere un minimo di potere su quello spazio.
L'idea è quella che magari gli spazi che determinano univocamente la scrittura di un vettore, possano darci una certa possibilità di movimento.

la Matematica ha scritto:dato uno spazio vettoriale $V$ e una famiglia $F={V_kleqV: k=1,...,p}$ di sottospazi, diremo che $V$ è in somma diretta di(dei sottospazi) $V_1,...,V_p$ se valgono le seguenti condizioni:

$-$ $V=sum_(k=1)^(p)V_k$ dove $Sigma$ indica la 'somma di spazi vettoriali'
$-$ $forallv in V exists! v_j in V_j(j=1,...,p) : v=sum_(k=1)^(p)v_k$

ora sarebbe facile vedere che: se $V$ è in somma diretta di $V_1,...,V_p$ allora $dimV=sum_(k=1)^(p)dimV_k$

quella dimostrazione si basa sul fatto che, per esempio, se $V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k)={0}$

di fatto se $v in V_1cap(sum_(k=2)^(p)V_k) => {(v=v_1),(v=sum_(k=2)^(p)v_k) :}$ con $v_j in V_j$

$v in V$ e ${(-v_1+sum_(k=2)^(p)v_k=0),(v=v_1):}$

dall'unicità della scrittura deve essere necessariamente $v_1=v_2=...=v_p=0$ in quanto altrimenti $0$ si potrebbe scrivere in almeno due modi: quella di sopra più la scrittura $underbrace(0+....+0)_p=0$ da cui $v=0$

se ti andasse di provare, per induzione, potresti provare l'implicazione di sopra supponendo che $V$ sia in somma diretta di suoi $p$ sottospazi. Questa è una generalizzazione sufficiente della relazione di grassman(su ipotesi restrittive) in quanto risultano equivalenti se si suppone di avere una somma diretta.

Tra l'altro questa è davvero una bella cosa se consideri che ogni spazio finito-dimensionale si potrebbe scrivere in somma diretta delle rette generate dai vettori di una sua base.

@dissonance
Testo nascosto, perchè contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
avevi ragione: curare l'esposizione estetica di uno scritto ha il suo perché

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 16:36
da Daken97
Sì, più o meno mi è chiaro il motivo per cui non è possibile considerare le dimensioni dei sottospazi come se corrispondessero alla cardinalità di insiemi. In ogni caso, è possibile ricavare la dimensione della somma di sottospazi vettoriali senza la formula di Grassmann, anche il procedimento è abbastanza laborioso...


Grazie a tutti!

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 20/11/2018, 16:47
da dissonance
@fmnq: Grazie mille, bellissimo link.

@Daken: non ti preoccupare troppo, hai visto, persino su un sito per matematici professionisti il fatto che la formula di Grassmann non valga per più di due sottospazi è considerato come sorprendente.

Re: Generalizzazione della formula di grassman

MessaggioInviato: 21/11/2018, 00:53
da Daken97
dissonance ha scritto:
@Daken: non ti preoccupare troppo, hai visto, persino su un sito per matematici professionisti il fatto che la formula di Grassmann non valga per più di due sottospazi è considerato come sorprendente.


Per certi versi è meglio così, significa che il mio dubbio non era così banale. :D

Scherzi a parte, la risposta sicuramente è sorprendente, ma d'altra parte calcolare la cardinalità della somma di sottospazi senza ricorrere a alla famosa formula è possibile.