Dimostrazione sulle soluzioni di un sistema compatibile

[universo]

Buonasera.
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Se un sistema è compatibile, le sue soluzioni sono tutte e sole le n-uple ottenute sommando a una qualsiasi di esse una soluzione del sistema omogeneo associato."
Il libro di testo denota con \(\displaystyle \Sigma \subseteq K^n \) l'insieme delle soluzioni di un generico sistema lineare, mentre con \(\displaystyle \Sigma_0 \subseteq K^n \) l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato al suddetto generico sistema. Procede poi come segue: se \(\displaystyle (y_1, \dots, y_n) \in \Sigma \) e \(\displaystyle (x_1, \dots, x_n) \in \Sigma_0 \) allora
\(\displaystyle (y_1, \dots, y_n) + (x_1, \dots, x_n) = (y_1 + x_1 + \dots + y_n + x_n) \in \Sigma \)
e fin qui è tutto chiaro. In sintesi vuol dire che se prendo una n-nupla soluzione del "sistema di partenza" e a questa somma una n-nupla soluzione del sistema omogeneo associato ottengo un'altra soluzione (anche coincidente nel caso della soluzione banale del sistema omogeneo \(\displaystyle (0, \dots, 0) \) ).
Continua dicendo: infatti per ogni \(\displaystyle j = 1, \dots, m \) si ha \(\displaystyle a_{ji}(y_1 + x_1) + a_{j2}(y_2 + x_2) + \dots + a_{jn}(y_n + x_n) = (a_{j1}y_1 +a_{j2}y_2 + \dots + a_{jn}y_n ) + (a_{j1}x_1 +a_{j2}x_2 + \dots + a_{jn}x_n ) = b_j + 0 = b_j\)
e qui non mi è chiaro il passaggio. Credo faccia la somma membro a membro tra le due equazioni "della stessa riga" (non si parla ancora della matrice dei coefficienti) ma non ho capito perché compaiono anche i coefficienti. Dubbio senz'altro banale ed imbarazzante, ma va risolto.
Grazie.

[dissonance]

Fattelo prima per un sistema di due o tre equazioni in due o tre incognite. Ti stai solo confondendo con gli indici.

[universo]

Ho capito adesso
Praticamente riscrive il sistema di partenza sostituendo le indeterminate con le soluzioni trovate sommando le n-uple che risolvono il sistema e il sistema omogeneo associato:
\(\displaystyle a_{j1}Y_1 + a_{j2}Y_2 + \dots a_{jn}Y_n = b_j\)
diventa
\(\displaystyle a_{j1}(y_1 + x_1) + a_{j2}(y_2 + x_2) + \dots + a_{jn}(y_n + x_n) = b_j \)