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[EX] Spazi metrici connessi.

09/12/2018, 19:39

$(a)$ Dimostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ connesso, dati due qualsiasi punti $x,y$ in $X$ e fissato un $\epsilon>0$ esiste una sequenza finita di punti $x_i\inX$ con $0\leq i\leq n$ tali che $x_0=x$, $x_n=y$ e $AA1\leq i\leq n\ d(x_i,x_(i-1))<\epsilon $.
$(b)$ Mostrare che se uno spazio metrico compatto $(X,d)$ soddisfa la proprietà descritta nel punto $(a)$ allora è connesso; cosa che non vale in assenza dell'ipotesi di compattezza.

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

09/12/2018, 22:26

Ciao otta :D

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
penso di avere un'idea carina.
sia $(X,d)$ uno spazio metrico connesso, $p,q in X$ e $epsilon>0$

la funzione $f:X->RR$ definita come $f(x)=d(p,x)$ è continua su uno spazio connesso, quindi $f(X)$ è un intervallo. In particolare $0, d(p,q) in f(X)$ quindi $[0,d(p,q)] subseteqf(X)$

$1.$ essendo $f(X)$ un intervallo di $RR$ è convesso e quindi contenendo $0,d(p,q)$ contiene tutto l'intervallo $[0,d(p,q)]$

$2.$ ovviamente la continuità è data dal fatto che $|f(x)-f(y)|=|d(x,x_0)-d(y,x_0)|leqd(x,y)$ comunque preso $z in X$ e $epsilon>0$ se $d(x,z)<epsilon$ allora $|f(x)-f(z)|<epsilon$

essendo continua in una base locale(le palette) di $z$ allora è continua in $z$. In particolare è continua per ogni $z in X$ quindi è continua.

l'intervallo è degenere sse $d(p,q)=0$ ossia sse $p=q$ e in quel caso è banale.
Supponiamo dunque che sia $pneq$

possiamo trovare una suddivisione $S={y_1=0<y_2<...<y_n=d(p,q)}$, di quell'intervallo, in modo tale che $|y_i-y_(i-1)|<epsilon/2$ per ogni $i=2,...,n$.

Stando nell'immagine esiste un sottoinsieme finito $T={x_1,...,x_n}$ di $X$ tale che $d(p,x_k)=y_k$ per ogni $k=1,...,n$

chiaramente gli $x_1,...,x_n$ sono estratti dalle fibre degli $y_1,...,y_n$ quindi possiamo prenderla in modo tale che $q=x_n$

notiamo che $d(x_i,x_(i-1))leqd(p,x_i)+d(p,x_(i-1))<epsilon/2+epsilon/2=epsilon$

in particolare

$0=y_1=d(p,x_1) => p=x_1$


mi piace molto questa soluzione, spero sia corretta.
Per il punto $b$ mi auto-rimando a domani/dopodomani che farò i compatti

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

09/12/2018, 23:58

anto_zoolander ha scritto:essendo continua in una base locale(le palette) di $z$

Le palette lasciamole stare, ora stiamo facendo topologia.

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
notiamo che $d(x_i,x_(i-1))leqd(p,x_i)+d(p,x_(i-1))<epsilon/2+epsilon/2=epsilon$

E come mai?


Per il punto $b$ mi auto-rimando a domani/dopodomani che farò i compatti

Intanto puoi fare la parte senza la compattezza :D

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

10/12/2018, 11:35

Questo esercizio è proprio bellino! Mi permetto di passare un suggerimento:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Gli aperti connessi di \(\mathbb R^n\) sono "connessi per poligonali", ovvero, ogni coppia di loro punti può essere connessa da una unione finita di segmenti. Qui, ad esempio, c'è una dimostrazione. Si può adattare al caso di questo esercizio.


@anto: buon tentativo. Puoi cercare di scrivere un po' meno?

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

10/12/2018, 12:25

@disso
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
mi dispiace un po’ per l’errore, come ho detto ad otta, mi piaceva. Appena ho due minuti da dedicargli la sistemo, ma non so se sia recuperabile. Comunque si, posso :D

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

10/12/2018, 12:42

Mi sembra un po' difficile da recuperare. Tu hai costruito punti \(x_1, x_2,\ldots\) tali che \(d(p, x_n)=n\epsilon\). Ma nessuno garantisce che l'i-esimo punto sia vicino all'(i+1)-esimo; al contrario, i punti potrebbero benissimo allontanarsi da \(p\) in modo completamente caotico.

Per ottenere la tesi, dovresti costruire i punti con un meccanismo di selezione più preciso. Io non saprei farlo, così su due piedi. Proverei a dare una occhiata al suggerimento.

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

10/12/2018, 13:50

Il suggerimento di dissonance è buono, in effetti si può dimostrare una cosa più generale che implica sia la cosa che ha detto lui che quella richiesta dall'esercizio.
Ah comunque tra i due, il punto $(a) $ è più difficile.

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

11/12/2018, 00:39

otta96 ha scritto:Il suggerimento di dissonance è buono, in effetti si può dimostrare una cosa più generale che implica sia la cosa che ha detto lui che quella richiesta dall'esercizio.
Ah comunque tra i due, il punto $(a) $ è più difficile.

Sono curioso, qual è questa cosa?

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

11/12/2018, 00:42

La dirò quando qualcuno avrà risolto l'esercizio :snakeman:
oppure se nessuno lo avrà risolto per un tempo sufficientemente lungo...

Re: [EX] Spazi metrici connessi.

11/12/2018, 00:52

@otta
ti riferisci ad una particolare definizione di connessione per poligonali per spazi metrici?
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